科学空间|Scientific Spaces

今天上近世代数课，老师谈到除环，举了一个非交换的除环的粒子，也就是四元数环，然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”，也就是实数本身、复数、四元数和八元数（这里的可除代数就是除环）。这句话我听起来有点熟悉，又好像不大对劲。我记得在某本书上看过，定义为实数上的超复数系，如果满足模的积性，那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性，也只有四种。我自然以为老师记错了，跟老师辩论了一翻，然后回到宿舍又找资料，最终确定：实数域上有限维可除代数真的只有四种！下面简单谈谈我对这个问题的认识。

当然，这里不可能给出这个命题的证明，因为这个证明相当不简单，笔者目前也没有弄懂，但是粗略感觉一下为什么，还是有可能的。看到这个命题，我们一下子的感觉可能是：怎么会这么少！我们这里通过例子简单说明一下，确实不会多！

我们已经对复数系很熟悉了，也就是定义在实数上的向量空间，基为$\{1,i\}$，并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$

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（译自 陶哲轩 博客, 译者 liuxiaochuang）
（英文原文：Does one have to be a genius to do maths?）

这个问题的回答是一个大写的：不！为了达到对数学有一个良好的，有意义的贡献的目的，人们必须要刻苦努力；学好自己的领域，掌握一些其他领域的知识和工具；多问问题；多与其他数学工作者交流；要对数学有个宏观的把握。当然，一定水平的才智，耐心的要求，以及心智上的成熟性是必须的。但是，数学工作者绝不需要什么神奇的“天才”的基因，什么天生的洞察能力；不需要什么超自然的能力使自己总有灵感去出人意料的解决难题。

大众对数学家的形象有一个错误的认识：这些人似乎都使孤单离群的（甚至有一点疯癫）天才。他们不去关注其他同行的工作，不按常规的方式思考。他们总是能够获得无法解释的灵感（或者经过痛苦的挣扎之后突然获得），然后在所有的专家都一筹莫展的时候，在某个重大的问题上取得了突破的进展。这样浪漫的形象真够吸引人的，可是至少在现代数学学科中，这样的人或事是基本没有的。在数学中，我们的确有很多惊人的结论，深刻的定理，但是那都是经过几年，几十年，甚至几个世纪的积累，在很多优秀的或者伟大的数学家的努力之下一点一点得到的。每次从一个层次到另一个层次的理解加深的确都很不平凡，有些甚至是非常的出人意料。但尽管如此，这些成就也无不例外的建立在前人工作的基础之上，并不是全新的。（例如， Wiles 解决费马最后定理的工作，或者Perelman 解决庞加莱猜想的工作。）

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昨晚上初等数论的时候，有这么一道题

求证
$$\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+\frac{7}{15}x$$
恒为整数，其中$x$是一个整数。

更一般地，可以得到
$$\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}x^p + \left(1-\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}\right)x$$
恒为整数，其中$\mathbb{P}$是有限个素数的集合，还有更多整数值函数问题。要证明这些函数的值恒为整数，可以通过同余分析，证明分子总能被分母整除。但是，更妙的、同时往往会更简单的方法是，将结果赋予必然为整数的意义——可以是计算上的，也可以是操作上的。

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写在前面：本文是笔者数学建模课的作业，探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质，展示了微分方程定性理论的基本思想。当然，本文最重要的目的，是展示LaTeX与Python的完美结合。（本文的图均由Python的Matplotlib模块生成；而文档则采用LaTeX编辑。）

问题提出

研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。

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本文主要做了一个尝试，尝试不通过Green公式而实现将封闭曲线的面积与线积分相互转换。这种转换的思路，因为仅仅利用了二重积分的积分变换，较为容易理解，而且易于推广。至于这种技巧是否真正具有实际价值，还请读者评论。

假设平面上一条简单封闭曲线由以下参数方程给出：
$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}x = f(t)\\y = g(t)\end{aligned}\right.\end{equation}$$
其中参数$t$位于某个区间$[a,b]$上，即$f(a)=f(b),g(a)=g(b)$。现在的问题是，求该封闭曲线围成的区域的面积。

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很多人觉得“模型”、“大数据”、“机器学习”这些字眼很高大很神秘，事实上，它跟我们生活中选水果差不了多少。本文用了几千字，来试图教会大家怎么选芒果...

模型的比喻

芒果

假如我要从一批芒果中，找出好吃的那个来。而我不能直接切开芒果尝尝，所以我只能观察芒果，能观察到的量有颜色、表面的气味、大小等等，这些就是我们能够收集到的信息（特征）。

生活中还要很多这样的例子，比如买火柴（可能年轻的城里人还没见过火柴？），如何判断一盒火柴的质量？难道要每根火柴都划划，看看着不着火？显然不行，我们最多也只能划几根，全部划了，火柴也不成火柴了。当然，我们还能看看火柴的样子，闻闻火柴的气味，这些动作是可以接受的。

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————怀念我曾经参加过的小学数学竞赛。

从一道小学竞赛题谈起

笔者小学五年级时参加了第一次数学竞赛，叫“育苗杯”，大多数题目都记不清楚了，唯一记得很清楚的是如下这道题目（不完全相同，意思类似）：

假设汽水一块钱一瓶，而且4个空瓶子可以换一瓶汽水喝。如果我有30块钱，我最多可以喝到多少瓶汽水？

来瓶汽水吧

当然，这道题并不困难，30块钱能买30瓶汽水，然后留下30个空瓶子，这30个空瓶子可以换来7瓶汽水，剩下2个空瓶子；喝完汽水后，剩下9个空瓶子，可以换来2瓶汽水，剩下1个空瓶子；喝完汽水后，剩下3个空瓶子。算算看，这时候我们已经喝了30+7+2=39瓶汽水了。（不考虑撑着啊，也可以分给别人喝^_^）整个过程如下表：
$$\begin{array}{c|cccc}
\hline
\text{空瓶子数} & 30 & 2+7 & 1+2 & ? \\
\hline
\text{已喝汽水数} & 30 & 7 & 2 & ? \\
\hline \end{array}$$

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笔者成功地保研到了中山大学的基础数学专业，这个专业自然是比较理论性的，虽然如此，我还会保持着我对数据分析、计算机等方面的兴趣。这几天兴致来了，想做一下结合我的专业跟数据挖掘相结合的研究，所以就爬取了ARXIV上面近五年（2010年到2014年）的数学论文（包含的数据有：标题、分类、年份、月份），想对这几年来数学的“行情”做一下简单的分析。个人认为，ARVIX作为目前全球最大的论文预印本的电子数据库，对它的数据进行分析，所得到的结论是能够具有一定的代表性的。

当然，本文只是用来练手爬虫和基本数据分析的文章，并没有挖掘出特别有价值的信息。文末附录了笔者爬取到的数据，供有兴趣的读者进一步分析研究。

整体情况

这五年来，ARXIV的数学论文总数为135009篇，平均每年27000篇，或者每天74篇。

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