15
May
地球引力场的悬链线方程
By 苏剑林 | 2011-05-15 | 62452位读者 | 引用之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...
与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$
28
May
遐思1：n次代数方程的解可以这样表示吗？
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 29649位读者 | 引用打从科学空间建立起，就已经设立了“问题百科”这一个分类，但内容一直都很少，主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。
前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读，两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时，我最感兴趣的就是解方程方面的内容（根式解），通过研究理解了1到4次方程的求根公式，并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情！！
现在，稍稍阅读了《无法解出的方程》后，结合我之前在代数方程方面的一些总结，提出一个问题：
若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$
那么，是否存在大于3的n，使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$（j可以是1到n的任意整数）通过有限步骤运算出来？
这个问题可以换一个近似但不等价的说法：
若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答，那么一元(n+1)次方程能否有根式解？
也就是说，(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算？
（不考虑前提的正确与否，显然n=4已经不成立了，当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢？）
期待有人能够解决^_^
24
Dec
用二次方程判别式判断正定矩阵
By 苏剑林 | 2013-12-24 | 58691位读者 | 引用快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。
虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。
正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$
最近一直在考虑一些自然语言处理问题和一些非线性分析问题，无暇总结发文，在此表示抱歉。本文要说的是对于一阶非线性差分方程（当然高阶也可以类似地做）的一种摄动格式，理论上来说，本方法可以得到任意一阶非线性差分方程的显式渐近解。
非线性差分方程
对于一般的一阶非线性差分方程
$$\begin{equation}\label{chafenfangcheng}x_{n+1}-x_n = f(x_n)\end{equation}$$
通常来说，差分方程很少有解析解，因此要通过渐近分析等手段来分析非线性差分方程的性质。很多时候，我们首先会考虑将差分替换为求导，得到微分方程
$$\begin{equation}\label{weifenfangcheng}\frac{dx}{dn}=f(x)\end{equation}$$
作为差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的近似。其中的原因，除了微分方程有比较简单的显式解之外，另一重要原因是微分方程$\eqref{weifenfangcheng}$近似保留了差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的一些比较重要的性质，如渐近性。例如，考虑离散的阻滞增长模型：
$$\begin{equation}\label{zuzhizengzhang}x_{n+1}=(1+\alpha)x_n -\beta x_n^2\end{equation}$$
对应的微分方程为（差分替换为求导）：
$$\begin{equation}\frac{dx}{dn}=\alpha x -\beta x^2\end{equation}$$
此方程解得
$$\begin{equation}x_n = \frac{\alpha}{\beta+c e^{-\alpha n}}\end{equation}$$
其中$c$是任意常数。上述结果已经大概给出了原差分方程$\eqref{zuzhizengzhang}$的解的变化趋势，并且成功给出了最终的渐近极限$x_n \to \frac{\alpha}{\beta}$。下图是当$\alpha=\beta=1$且$c=1$（即$x_0=\frac{1}{2}$）时，微分方程的解与差分方程的解的值比较。
差分方程的摄动法1
现在的问题是，既然微分方程的解可以作为一个形态良好的近似解了，那么是否可以在微分方程的解的基础上，进一步加入修正项提高精度？
21
Aug
[电子书]《最小作用量原理与物理学的发展》
By 苏剑林 | 2013-08-21 | 49098位读者 | 引用
18
Jul
天文望远镜拍到宇宙最美部分(图)
By 苏剑林 | 2009-07-18 | 18261位读者 | 引用
6
Aug
五种零食揭示宇宙的形状
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24
Oct
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