生成扩散模型漫谈（七）：最优扩散方差估计（上）

对于生成扩散模型来说，一个很关键的问题是生成过程的方差应该怎么选择，因为不同的方差会明显影响生成效果。

在《生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式VAE》我们提到，DDPM分别假设数据服从两种特殊分布推出了两个可用的结果；《生成扩散模型漫谈（四）：DDIM = 高观点DDPM》中的DDIM则调整了生成过程，将方差变为超参数，甚至允许零方差生成，但方差为0的DDIM的生成效果普遍差于方差非0的DDPM；而《生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇》显示前、反向SDE的方差应该是一致的，但这原则上在$\Delta t\to 0$时才成立；《Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models》则提出将它视为可训练参数来学习，但会增加训练难度。

所以，生成过程的方差究竟该怎么设置呢？今年的两篇论文《Analytic-DPM: an Analytic Estimate of the Optimal Reverse Variance in Diffusion Probabilistic Models》和《Estimating the Optimal Covariance with Imperfect Mean in Diffusion Probabilistic Models》算是给这个问题提供了比较完美的答案。接下来我们一起欣赏一下它们的结果。

不确定性 #

事实上，这两篇论文出自同一团队，作者也基本相同。第一篇论文（简称Analytic-DPM）下面简称在DDIM的基础上，推导了无条件方差的一个解析解；第二篇论文（简称Extended-Analytic-DPM）则弱化了第一篇论文的假设，并提出了有条件方差的优化方法。本文首先介绍第一篇论文的结果。

在《生成扩散模型漫谈（四）：DDIM = 高观点DDPM》中，我们推导了对于给定的$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I})$，对应的$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)$的一般解为
$$\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0) = \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t-1}; \frac{\sqrt{\bar{\beta}_{t-1}^2 - \sigma_t^2}}{\bar{\beta}_t} \boldsymbol{x}_t + \gamma_t \boldsymbol{x}_0, \sigma_t^2 \boldsymbol{I}\right)\end{equation}$$
其中$\gamma_t = \bar{\alpha}_{t-1} - \frac{\bar{\alpha}_t\sqrt{\bar{\beta}_{t-1}^2 - \sigma_t^2}}{\bar{\beta}_t}$，$\sigma_t$就是可调的标准差参数。在DDIM中，接下来的处理流程是：用$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$来估计$\boldsymbol{x}_0$，然后认为
$$\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t) \approx p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0=\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t))\end{equation}$$
然而，从贝叶斯的角度来看，这个处理是非常不妥的，因为从$\boldsymbol{x}_t$预测$\boldsymbol{x}_0$不可能完全准确，它带有一定的不确定性，因此我们应该用概率分布而非确定性的函数来描述它。事实上，严格地有
$$\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t) = \int p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)d\boldsymbol{x}_0\end{equation}$$
精确的$p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$通常是没法获得的，但这里只要一个粗糙的近似，因此我们用正态分布$\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_0;\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t),\bar{\sigma}_t^2\boldsymbol{I})$去逼近它（如何逼近我们稍后再讨论）。有了这个近似分布后，我们可以写出
$$\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{x}_{t-1} =&\, \frac{\sqrt{\bar{\beta}_{t-1}^2 - \sigma_t^2}}{\bar{\beta}_t}\boldsymbol{x}_t + \gamma_t \boldsymbol{x}_0 + \sigma_t\boldsymbol{\varepsilon}_1 \\ \approx&\, \frac{\sqrt{\bar{\beta}_{t-1}^2 - \sigma_t^2}}{\bar{\beta}_t}\boldsymbol{x}_t + \gamma_t \big(\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) + \bar{\sigma}_t \boldsymbol{\varepsilon}_2\big) + \sigma_t\boldsymbol{\varepsilon}_1 \\ =&\, \left(\frac{\sqrt{\bar{\beta}_{t-1}^2 - \sigma_t^2}}{\bar{\beta}_t}\boldsymbol{x}_t + \gamma_t \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\right) + \underbrace{\big(\sigma_t\boldsymbol{\varepsilon}_1 + \gamma_t\bar{\sigma}_t \boldsymbol{\varepsilon}_2\big)}_{ \sim \sqrt{\sigma_t^2 + \gamma_t^2\bar{\sigma}_t^2}\boldsymbol{\varepsilon}} \\ \end{aligned}\end{equation}$$
其中$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\boldsymbol{\varepsilon}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I})$。可以看到，$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)$更加接近均值为$\frac{\sqrt{\bar{\beta}_{t-1}^2 - \sigma_t^2}}{\bar{\beta}_t}\boldsymbol{x}_t + \gamma_t \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$、协方差为$\left(\sigma_t^2 + \gamma_t^2\bar{\sigma}_t^2\right)\boldsymbol{I}$的正态分布，其中均值跟以往的结果是一致的，不同的是方差多出了$\gamma_t^2\bar{\sigma}_t^2$这一项，因此即便$\sigma_t=0$，对应的方差也不为0。多出来的这一项，就是第一篇论文所提的最优方差的修正项。

均值优化 #

现在我们来讨论如何用$\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_0;\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t),\bar{\sigma}_t^2\boldsymbol{I})$去逼近真实的$p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$，说白了就是求出$p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$的均值和协方差。

对于均值$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$来说，它依赖于$\boldsymbol{x}_t$，所以需要一个模型来拟合它，而训练模型就需要损失函数。利用
$$\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}[\boldsymbol{x}] = \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}\left[\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}\Vert^2\right]\label{eq:mean-opt}\end{equation}$$
我们得到
$$\begin{equation}\begin{aligned} \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) =&\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}[\boldsymbol{x}_0] \\[5pt] =&\, \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\Vert \boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}\Vert^2\right] \\ =&\, \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left\Vert \boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)\right\Vert^2\right] \\ =&\, \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}\left[\left\Vert \boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)\right\Vert^2\right] \\ \end{aligned}\label{eq:loss-1}\end{equation}$$
这就是训练$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$所用的损失函数。如果像之前一样引入参数化
$$\begin{equation}\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) = \frac{1}{\bar{\alpha}_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\beta}_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\label{eq:bar-mu}\end{equation}$$
就可以得到DDPM训练所用的损失函数形式$\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2$了。关于均值优化的结果是跟以往一致的，没有什么改动。

方差估计1 #

类似地，根据定义，协方差矩阵应该是
$$\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{\Sigma}(\boldsymbol{x}_t)=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left(\boldsymbol{x}_0 - \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\right)\left(\boldsymbol{x}_0 - \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\right)^{\top}\right] \\ =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left((\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}) - (\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu})\right)\left((\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}) - (\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu})\right)^{\top}\right] \\ =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[(\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}_0)(\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}_0)^{\top}\right] - (\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu}_0)(\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu}_0)^{\top}\\ \end{aligned}\label{eq:var-expand}\end{equation}$$
其中$\boldsymbol{\mu}_0$可以是任意常向量，这对应于协方差的平移不变性。

上式估计的是完整的协方差矩阵，但并不是我们想要的，因为目前我们是想要用$\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_0;\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t),\bar{\sigma}_t^2\boldsymbol{I})$去逼近$p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$，其中设计的协方差矩阵为$\bar{\sigma}_t^2\boldsymbol{I}$，它有两个特点：

1、跟$\boldsymbol{x}_t$无关：为了消除对$\boldsymbol{x}_t$的依赖，我们对全体$\boldsymbol{x}_t$求平均，即$\boldsymbol{\Sigma}_t = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}[\boldsymbol{\Sigma}(\boldsymbol{x}_t)]$；

2、单位阵的倍数：这意味着我们只用考虑对角线部分，并且对对角线元素取平均，即$\bar{\sigma}_t^2 = \text{Tr}(\boldsymbol{\Sigma}_t)/d$，其中$d=\dim(\boldsymbol{x})$。

于是我们有
$$\begin{equation}\begin{aligned} \bar{\sigma}_t^2 =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\frac{\Vert\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}_0\Vert^2}{d}\right] - \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\left[\frac{\Vert\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu}_0\Vert^2}{d}\right] \\ =&\, \frac{1}{d}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}\left[\Vert\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}_0\Vert^2\right] - \frac{1}{d}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\left[\Vert\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu}_0\Vert^2\right] \\ =&\, \frac{1}{d}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\left[\Vert\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\mu}_0\Vert^2\right] - \frac{1}{d}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\left[\Vert\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu}_0\Vert^2\right] \\ \end{aligned}\label{eq:var-1}\end{equation}$$
这是笔者给出的关于$\bar{\sigma}_t^2$的一个解析形式，在$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$完成训练的情况下，可以通过采样一批$\boldsymbol{x}_0$和$\boldsymbol{x}_t$来近似计算上式。

特别地，如果取$\boldsymbol{\mu}_0=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}[\boldsymbol{x}_0]$，那么刚好可以写成
$$\begin{equation}\bar{\sigma}_t^2 = \mathbb{V}ar[\boldsymbol{x}_0] - \frac{1}{d}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\left[\Vert\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) - \boldsymbol{\mu}_0\Vert^2\right]\end{equation}$$
这里的$\mathbb{V}ar[\boldsymbol{x}_0]$是全体训练数据$\boldsymbol{x}_0$的像素级方差。如果$\boldsymbol{x}_0$的每个像素值都在$[a,b]$区间内，那么它的方差显然不会超过$\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$，从而有不等式
$$\begin{equation}\bar{\sigma}_t^2 \leq \mathbb{V}ar[\boldsymbol{x}_0] \leq \left(\frac{b-a}{2}\right)^2\end{equation}$$

方差估计2 #

刚才的解是笔者给出的、认为比较直观的一个解，Analytic-DPM原论文则给出了一个略有不同的解，但笔者认为相对来说没那么直观。通过代入式$\eqref{eq:bar-mu}$，我们可以得到：
$$\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{\Sigma}(\boldsymbol{x}_t)=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left(\boldsymbol{x}_0 - \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\right)\left(\boldsymbol{x}_0 - \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\right)^{\top}\right] \\ =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left(\left(\boldsymbol{x}_0 - \frac{\boldsymbol{x}_t}{\bar{\alpha}_t}\right) + \frac{\bar{\beta}_t}{\bar{\alpha}_t} \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\left(\left(\boldsymbol{x}_0 - \frac{\boldsymbol{x}_t}{\bar{\alpha}_t}\right) + \frac{\bar{\beta}_t}{\bar{\alpha}_t} \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)^{\top}\right] \\ =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left(\boldsymbol{x}_0 - \frac{\boldsymbol{x}_t}{\bar{\alpha}_t}\right)\left(\boldsymbol{x}_0 - \frac{\boldsymbol{x}_t}{\bar{\alpha}_t}\right)^{\top}\right] - \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2} \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)^{\top}\\ =&\, \frac{1}{\bar{\alpha}_t^2}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)^{\top}\right] - \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2} \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)^{\top}\\ \end{aligned}\end{equation}$$
此时如果两端对$\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)$求平均，我们有
$$\begin{equation}\begin{aligned} &\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)}\left[\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)^{\top}\right] \\ =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}\left[\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)^{\top}\right] \end{aligned}\end{equation}$$
别忘了$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I})$，所以$\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0$实际上就是$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的均值，那么$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}\left[\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)^{\top}\right]$实际上是在求$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的均值的协方差矩阵，结果显然就是$\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I}$，所以
$$\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}\left[\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0\right)^{\top}\right] = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\left[\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I}\right] = \bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I} \end{equation}$$
那么
$$\begin{equation} \boldsymbol{\Sigma}_t = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}[\boldsymbol{\Sigma}(\boldsymbol{x}_t)] = \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2}\left(\boldsymbol{I} - \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\left[ \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)^{\top}\right]\right)\end{equation}$$
两边取迹然后除以$d$，得到
$$\begin{equation}\bar{\sigma}_t^2 = \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2}\left(1 - \frac{1}{d}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\left[ \Vert\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\Vert^2\right]\right)\leq \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2}\label{eq:var-2}\end{equation}$$
这就得到了另一个估计和上界，这就是Analytic-DPM的原始结果。

实验结果 #

原论文的实验结果显示，Analytic-DPM所做的方差修正，主要在生成扩散步数较少时会有比较明显的提升，所以它对扩散模型的加速比较有意义：

笔者也在之前自己实现的代码上尝试了Analytic-DPM的修正，参考代码为：

Github：https://github.com/bojone/Keras-DDPM/blob/main/adpm.py

当扩散步数为$10$时，DDPM与Analytic-DDPM的效果对比如下图：

可以看到，在扩散步数较小时，DDPM的生成效果比较光滑，有点“重度磨皮”的感觉，相比之下Analytic-DDPM的结果显得更真实一些，但是也带来了额外的噪点。从评价指标来说，Analytic-DDPM要更好一些。

吹毛求疵 #

至此，我们已经完成了Analytic-DPM的介绍，推导过程略带有一些技巧性，但不算太复杂，至少思路上还是很明朗的。如果读者觉得还是很难懂，那不妨再去看看原论文在附录中用7页纸、13个引理完成的推导，想必看到之后就觉得本文的推导是多么友好了哈哈～

诚然，从首先得到这个方差的解析解来说，我为原作者们的洞察力而折服，但不得不说的是，从“事后诸葛亮”的角度来说，Analytic-DPM在推导和结果上都走了一些的“弯路”，显得“太绕”、”太巧“，从而感觉不到什么启发性。其中，一个最明显的特点是，原论文的结果都用了$\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t)$来表达，这就带来了三个问题：一来使得推导过程特别不直观，难以理解“怎么想到的”；二来要求读者额外了解得分匹配的相关结果，增加了理解难度；最后落到实践时，$\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t)$又要用回$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$或$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$来表示，多绕一道。

本文推导的出发点是，我们是在估计正态分布的参数，对于正态分布来说，矩估计与最大似然估计相同，因此直接去估算相应的均值方差即可。结果上，没必要强行在形式上去跟$\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t)$、得分匹配对齐，因为很明显Analytic-DPM的baseline模型是DDIM，DDIM本身就没有以得分匹配为出发点，增加与得分匹配的联系，于理论和实验都无益。直接跟$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$或$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$对齐，形式上更加直观，而且更容易跟实验形式进行转换。

文章小结 #

本文分享了论文Analytic-DPM中的扩散模型最优方差估计结果，它给出了直接可用的最优方差估计的解析式，使得我们不需要重新训练就可以直接应用它来改进生成效果。笔者用自己的思路简化了原论文的推导，并进行了简单的实验验证。

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