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精确自由落体运动定律的讨论
By 苏剑林 | 2009-12-26 | 42357位读者 |
在初中或高中，自由落体试验简单地用这个公式来描述出来：
s=1/2gt2
其中g=9.8m//s2，等于1kg物体在地球表面所受的重力。
但是这个公式很明显有一个问题，就是实际上在地球，g不是恒定的，会随着距离（即海拔高度）的变化而变化，上述公式能够在一定范围内描述自然落体运动。但是当距离很大时，公式便失效了。例如以下问题：
一个希腊神话中提到一个天神的一块铁掉了，花了整整九天才到达地面，只考虑地球引力因素，计算“天的高度”。
这是国际天文竞赛中的一道题目，很显然不能用s=1/2gt2计算。经过查找资料，我发现了这一条公式：
t=√r02GMr0⋅arctg√r0−rr+√r(r0−r)
它表示从距离场中心r0时下落到距离场中心r时所需的时间。
可以证明，在r0很接近r时，该公式近似于s=1/2gt2。
现在我们可以用新的公式来求解天文奥赛的那道题目了。
首先我们得有一个思想：实际上天文的理论都是比较复杂的，我们在平时应用的时候，要设法把它近似、简化，下面的计算中我们将会体现这个思想。
我们已经知道了t=9∗86400s、r=6.371∗106m，求r0。
我们可以粗略估计得到r0定会比r大得很，于是√r0−rr必定很大，在这种情况之下我们可以认为arctg√r0−rr=π2。
同样，可以近似把√r(r0−r)写成√rr0。变为：
t=sqrtr02GM[πr02+√rr0]，并且有GM=R2g。 令√r0=x，有
2rt√2g=πx3+2√rx2
如果忽略2√rx2，则可以解得：x=24525,r0=6∗105km
如果当2√rx2=x3，则可以解得：x=22367,r0=5∗105km
官方给出的答案为51万km。
当然，这不是官方的解法，我们也不用特意掌握这种解法。这里只提供一个思路和方法给研究天体物理学的朋友们！
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February 18th, 2010
g也跟纬度度有关系的。
奥赛题是把物体对地球的旋转（所产生的向心力）这个因素忽略掉。
纬度这只是因为地球是不均匀球体而已。但是这个因素影响很小，而且一般都是把地球看做理想球体，所以忽略掉了。对于宇宙航行来说，海拔高度才是最不可忽略的。
其实这个是二体问题的最简单的一个解，其实这里还有一点需要修正：其中的M应该用(M+m)来替代，m是自由落体的物体质量。
February 19th, 2010
不说奥赛题。地球上的物体所受的重力是万有引力的一个分力啊。也就是说，物体受到的万有引力分解成绕地球转动的向心力（跟维度和高度有关）和重力两个分力。
一般人容易把重力等同于万有引力本身。
我懂你的意思了。你是说地球本身是一个非惯性系，所以重力不等价于引力。我们在地球上与地球一起运动，这个运动可以近似看成匀速圆周运动。我们作匀速圆周运动需要向心力，在地球上，这个力由万有引力的一个指向地轴的一个分力提供，而万有引力的另一个分力就是我们平时所说的重力了。
但估计这个影响也是不大吧？因为理论的g和实际相差无几啊！
February 20th, 2010
嗯，我的意思就是这样。
g由于维度的差异所造成的差别不是很大，小数点的问题，主要是概念上对重力的理解的问题。
另外，这里不需要引入“非惯性系”这个概念的啊。
November 29th, 2024
这是一道非常经典的运动学问题，解答思路也很简单。我不太认同博主的解法，甚至认为那是歧路。
s=(g*t^2)/2，其中 g 是重力加速度，是与 s 相关的量。重力加速度 g 实际上是位移关于时间的二阶导函数，即 g=(d^2s)/(dt^2)。
简单的改写成二阶微分方程形式即可，即为 2s/(t^2)=(d^2s)/(dt^2)。
求解该二阶微分方程，再结合初始条件即可得到精确解。
还有你使用的那个公式“t=*r*r0*”用在这个场合里不太正确。
回复日期2024_11_29