线性Transformer应该不是你要等的那个模型

在本博客中，我们已经多次讨论过线性Attention的相关内容。介绍线性Attention的逻辑大体上都是：标准Attention具有$\mathcal{O}(n^2)$的平方复杂度，是其主要的“硬伤”之一，于是我们$\mathcal{O}(n)$复杂度的改进模型，也就是线性Attention。有些读者看到线性Attention的介绍后，就一直很期待我们发布基于线性Attention的预训练模型，以缓解他们被BERT的算力消耗所折腾的“死去活来”之苦。

然而，本文要说的是：抱有这种念头的读者可能要失望了，标准Attention到线性Attention的转换应该远远达不到你的预期，而BERT那么慢的原因也并不是因为标准Attention的平方复杂度。

BERT之反思 #

按照直观理解，平方复杂度换成线性复杂度不应该要“突飞猛进”才对嘛？怎么反而“远远达不到预期”？出现这个疑惑的主要原因，是我们一直以来都没有仔细评估一下常规的Transformer模型（如BERT）的整体计算量。

很多读者都已经知道，Transformer的结构大体上是Embedding层加若干个Transformer层，Embedding层的计算量很少，我们主要关心Transformer层。忽略残差、Layer Normalization等计算量比较小的层不计，每个Transformer层主要组成就是两个子层：Self Attention（简称SA）和FeedForward Network（简称FFN）。虽然Transformer的开山之作声称“Attention is all you need”，但是也有不少工作论证了残差、FFN等模块的必要性了，比如《Attention is Not All You Need: Pure Attention Loses Rank Doubly Exponentially with Depth》。

现在问大家一个问题：

你觉得是SA计算量大还是FFN计算量大？

评估计算量 #

毋庸置疑，SA的复杂度是$\mathcal{O}(n^2)$，而FFN的复杂度则是$\mathcal{O}(n)$，如果你直接凭此就想当然地说SA计算量比FFN大，那就错了！

我们知道加法比乘法快很多，所以在估计计算量的时候我们主要计算要做多少次乘法，神经网络里边，主要的运算是矩阵相乘，不难估计按照定义一个$a\times b$的矩阵乘以一个$b\times c$的矩阵要做$abc$次乘法，所以$abc$就是两个矩阵相乘的复杂度了，这是我们估算Transformer复杂度的依据。

设$n$为序列长度，$d$为head_size（base版是64），$h$为head的数目（base版是12），那么$hd$就是我们通常说的“hidden_size”（base版是768）。对于SA来说，一开始是$Q,K,V$的投影变换，即$n\times hd$的矩阵乘以$hd\times hd$的矩阵做3次，因此计算量是$3n(hd)^2$；然后是$h$个Attention头的运算，每个头先是$n\times d$的$Q$与$d\times n$的$K^{\top}$相乘得到$n\times n$的Attention矩阵（softmax和归一化的计算量暂且忽略），然后$n\times n$的矩阵与$n\times d$的$V$相乘得到$n\times d$的矩阵，这两步的计算量都是$n^2 d$，所以总计算量是$h(n^2 d + n^2 d)$；最后的输出还有一个投影变换，也是$n\times hd$的矩阵乘以$hd\times hd$的矩阵，计算量是$n(hd)^2$。所以，SA的总计算量是
\begin{equation}3n(hd)^2 + h(n^2 d + n^2 d) + n(hd)^2 = 4nh^2 d^2 + 2n^2 hd\end{equation}
至于FFN就比较简单了，它就是两个全连接层，也就是两个矩阵变换（激活函数的计算量也忽略不计），一般的参数设置是：第一层是$n\times hd$的矩阵乘以$hd\times 4hd$的矩阵，第二层就是$n\times 4hd$的矩阵乘以$4hd\times hd$的矩阵。所以总计算量是
\begin{equation}n\times hd\times 4hd + n\times 4hd\times hd = 8nh^2 d^2\end{equation}
这样一来，如果SA的计算量比FFN大，就意味着
\begin{equation}4nh^2 d^2 + 2n^2 hd > 8nh^2 d^2\quad\Leftrightarrow\quad n > 2hd\end{equation}
对于base版来说，这意味着$n > 1536$！也就是说，只有当序列长度超过1536时，SA的计算量才大于FFN，在这之前，都是线性复杂度的FFN占主导！

这还不止，由上面的结果我们可以得到Transformer层总的计算量为
\begin{equation}4nh^2 d^2 + 2n^2 hd + 8nh^2 d^2 = 12nh^2 d^2 + 2n^2 hd\end{equation}
它是关于$n$的一次项和二次项的求和，当$n$足够大时，复杂度自然是$\mathcal{O}(n^2)$，然而二次项占主导的条件是
\begin{equation}2n^2 hd > 12nh^2 d^2\quad\Leftrightarrow\quad n > 6hd\end{equation}
对于base版来说，这意味着$n > 4608$！也就是说，当序列长度接近5000时，Transformer的复杂度才真正体现出二次性！

综合的结论 #

综合上述结果，我们可以得到结论：对于base版来说，当序列长度不超过1536时，Transformer的复杂度都是近乎线性的；当序列长度超过1536时，Transformer的计算量逐渐以Attention为主，复杂度慢慢趋于二次方，直到长度超过4608，才真正以二次项为主。当然这个边界只是一个估计，实际情况可能有所偏差，大家就此感知一下范围和数量级就好。

笔者以前也建议过很多读者，对于不超过2000长度的“长文本”任务，直接用NEZHA或者RoFormer这种不限长度的模型试试，不要想太多的技巧，原因也是如此。你想再多技巧，也顶多是降到线性复杂度，而在这个长度范围内模型本身就是近乎线性的，各种技巧也省不了多少。

对于老老实实用BERT base的读者来说，maxlen一般不超过512，远低于上述界限，因此就不要再说Attention的平方复杂度费硬件之类的吐槽了，因为事实是：

BERT之所以慢，主要是因为它真的大，而不是因为Attention的平方复杂度。

“线性”含义 #

至于对线性Attention“远远达不到预期”而感到疑惑的另一个原因，则是没有从实际情况分析线性Attention的计算量，以至于对线性Attention期待过高。

线性Attention的介绍可以参考《线性Attention的探索：Attention必须有个Softmax吗？》，这里不做重复。简单来说，线性Attention就是按照$Q(K^{\top} V)$的顺序算注意力。所以按照前面的估算方法，线性Attention每个头运算的计算量就是$2nd^2$，而标准Attention则是$2n^2 d$，因此如果$n > d$，那么线性Attention是比标准Attention要省计算量的。（注：实现线性效率的Attention也不止这一种思路，但总的而言复杂度是相似的，因此下面的结论也有代表性。）

对于base版来说，那就是$n > 64$，这个界还是很容易达到的，所以有些读者可能会想“能省一点是一点”、“不用白不用”。然而，这是假设了标准Attention与线性Attention都用同一个$d$的前提下得出的结果。而认真琢磨过《Performer：用随机投影将Attention的复杂度线性化》、《Transformer升级之路：3、从Performer到线性Attention》的读者都知道，线性Attention有着比标准Attention更严重的“低秩瓶颈”，所以如果切换为线性Attention后还用同一个$d$，那么线性Attention的效果将会明显下降，而如果要保留大致相同的效果，那么线性Attention要用更大的$d$（一般是原来的4倍左右）。

这样一来，线性Attention的计算量应该是$2n(4d)^2$，如果线性Attention要比标准Attention快，那么就要$n > 16d$，对于base版来说，就是$n > 1024$，这也超出了一般读者所能用到的范围了。况且换成线性Attention后，前面关于SA和FFN的计算量结论依然存在，即大部分序列长度下占主导计算量的还是FFN等线性运算，换了线性Attention后也无法感觉到明显的速度提升。所以，总的来说

你要不是成千上万的序列长度，就不要想着换线性Attention了。

再翻翻论文 #

事实上，就算不进行上述分析，只要认真读过关于Attention效率改进相关工作的读者，从论文中的某些图片就可以得到类似的结论：所谓更“高效”的Attention，一般都只适用于成千上万的序列长度，只有在这个场景下性能才有明显提升。

比如较早的工作Sparse Transformers，里边有一张图显示出处理的序列长度都是3000+的：

Sparse Transformer处理的长度都是3000+

比如大名鼎鼎的Reformer，演示性能的序列长度都是以K为单位的：

Reformer演示性能的序列长度都是以K为单位的

大家颇多好评的Longformer也是如此：

Longformer演示性能的序列长度都是几千甚至上万

还有Google关于线性Attention的经典之作Performer，显示出哪怕序列长度是$2^{12}=4096$，Performer与Transformer的差距也不能说特别显著：

Performer的性能曲线

最后是比较新的工作Luna，提供了一个比较综合的对比表格，同样支持我们的结论：

Luna里边关于各个改进版Attention机制的性能对比

从已有的各个高效Attention的工作中，我们可以得出结论：这些改进工作所关心的序列长度主要都是以千为单位的，有明显计算效率提升的序列长度基本上都要好几千；当然，我们前面的讨论主要针对的还是时间复杂度，对于空间复杂度，也就是显存占用量，降低的幅度一般要比时间复杂度提升的幅度的要大，但总体而言都是长序列才有价值。

换个期待吧 #

所以，如果你的序列长度还只是一两百，那么就完全不要期望Attention本身的改进了，老老实实换个小点的模型就好。你可以期望未来会有更小的模型能达到同样好的效果，但是不要期望同样大的模型通过修改Attention来提升效率，因为说白了，就算把Attention完全去掉，也提升不了多少性能。

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