最近，笔者入了一个新坑：基于离散优化的思想做一些文本生成任务。简单来说，就是把我们要生成文本的目标量化地写下来，构建一个分布，然后搜索这个分布的最大值点或者从这个分布中进行采样，这个过程通常不需要标签数据的训练。由于语言是离散的，因此梯度下降之类的连续函数优化方法不可用，并且由于这个分布通常没有容易采样的形式，直接采样也不可行，因此需要一些特别设计的采样算法，比如拒绝采样（Rejection Sampling）、MCMC（Markov Chain Monte Carlo）、MH采样（Metropolis-Hastings Sampling）、吉布斯采样（Gibbs Sampling），等等。

有些读者可能会觉得有些眼熟，似乎回到了让人头大的学习LDA（Latent Dirichlet Allocation）的那些年？没错，上述采样算法其实也是理解LDA模型的必备基础。本文我们就来回顾这些形形色色的采样算法，它们将会出现在后面要介绍的丰富的文本生成应用中。

明确目标 #

很多时候，我们需要根据一些特定的信息c来生成目标文本x，用数学的话说就是条件语言模型p(x|c)，不过我们无法得到足够多的语料对(x,c)去直接监督训练一个条件语言模型，而是只能训练一个无条件的语言模型p(x)，但我们又可以人为地设计一个指标来定量描述x和c之间的联系。那么在这种情况下，如何根据无条件的语言模型p(x)和x,c之间的联系来做有条件的文本生成，便成为了我们的研究对象。我们可以称之为“受限文本生成（Constrained Text Generation）”

举例来说，用关键词造句，那么c就是关键词的集合，我们可以定义示性函数：
χ(x,c)={1,如果x包含关键词集c0,如果x不包含关键词集c
继而定义
ρ(x,c)=p(x)χ(x,c)
p(x)保证了生成句子的流畅性，χ(x,c)保证了生成句子包含所要求的关键词，那么问题就可以变成最大化操作argmaxxρ(x,c)或采样操作x∼ρ(x,c)。当然，这里的ρ(x,c)还不是概率分布，要完成归一化后才是真正的概率分布：
ρ(x,c)∑xρ(x,c)=p(x)χ(x,c)∑xp(x)χ(x,c)
但分母通常是难以显式计算出来的。那也就是说，我们对待采样分布也只了解到它正比于某个函数ρ(x,c)，而不知道精确的分布表达式。

类似的例子并不少，比如说文本摘要。什么是文本摘要呢？其实就是用更少的文字x尽可能表达出跟原文c一样的意思，这时候我们可以定义：
ρ(x,c)=p(x)⋅sim(x,c)⋅χ(x,c)
这里的sim(x,c)是某个文本相似度函数，而χ(x,c)是长度的示性函数，即x的长度在某个范围（可能依赖于c）内，它就为1，否则为0。此时我们同样得到了一个未归一化的概率分布ρ(x,c)，需要最大化它或者从它里边采样。很明显，这个目标就意味着我们要得到一段跟原文语义尽可能相似的、长度满足一定约束的文字，这不就是摘要的存在意义吗？所以，这套思路的核心出发点就在于：我们要把自己要生成的目标定量地捋清楚，然后再去执行下一步操作。

困难分析 #

所以，抛开前面的背景不说，现在我们面临的问题就是有一个分布p(x)，我们只知道p(x)∝ρ(x)，即
p(x)=ρ(x)∑xρ(x)
中的分母我们无法显式计算出来。在本系列文章中，x代表文本，即一个离散元素的序列，但后面的推论同样也适用于x是连续型向量的场景。现在我们要搜索最大位置argmaxxp(x)或进行采样x∼p(x)，后面我们将会看到，搜索最大值其实也可以看成是采样的特例，因此我们主要关心采样方式。

前面说了，之所以需要设计一些特别的算法来完成采样，是因为直接从p(x)中采样是困难的，而我们需要理解采样的困难所在，才能真正理解后面所设计的采样算法的关键之处。困难在哪？如果x的候选值空间不大，哪怕有100万个候选值，我们都可以把每个p(x)都算出来，然后按照普通的类别采样来进行。然而，一般x的候选值空间远远不止100万，假如x有10个分量，每个分量有1万个选择（对应于词表大小），那么总的排列就有1040种了，不可能事先算好每一种排列的概率然后依概率采样。

那怎么办呢？所谓“不积硅步，无以至千里”，那就只能一步步来了，也就是说，我没法直接实现1040选1，那我做10次“104选1”可以吗？这就对应着所谓的“自回归生成”：
p(x)=p(x1)p(x2|x1)p(x3|x1,x2)⋯p(xn|x1,⋯,xn−1)=n∏t=1p(xt|x<t)
这样我们就可以先从p(x1)采样一个x1，然后从p(x2|x1)中采样一个x2，依此递归了。但是，自回归生成只是对应于无条件的语言模型或者是有监督训练的Seq2Seq模型，而如果希望像前面举的例子那样，往无条件语言模型的生成过程中加点约束，那么对应出来的模型就不再是自回归的了，也就无法按照这样的递归采样了。

所以，我们就不得不需要后面介绍的各种采样算法了，它也是“一步步来”的思想，但所使用的分布形式更加广泛一些。

重要采样 #

在《从采样看优化：可导优化与不可导优化的统一视角》、《如何划分一个跟测试集更接近的验证集？》等文章里，我们介绍过“重要性采样”的概念，即如果我们想估计期望Ex∼p(x)[f(x)]，但是p(x)又不是易于采样的分布，那么我们可以找一个跟p(x)相近的、易于采样的分布q(x)，然后根据下述变换
Ex∼p(x)[f(x)]=∑xp(x)f(x)=∑xq(x)p(x)q(x)f(x)=Ex∼q(x)[p(x)q(x)f(x)]
转化为从q(x)采样来算p(x)q(x)f(x)的期望了，也就是用p(x)q(x)对每个样本进行加权，所以它被称为“重要性采样（Importance Sampling）”。如果只知道p(x)∝ρ(x)，那么重要性采样也是可以进行的，这是因为
1=∑xp(x)=∑xq(x)p(x)q(x)=Ex∼q(x)[p(x)q(x)]
所以
Ex∼q(x)[p(x)q(x)f(x)]=Ex∼q(x)[p(x)/q(x)Ex∼q(x)[p(x)/q(x)]f(x)]
这样一来，我们发现上式只依赖于p(x)的相对值，不依赖于它的绝对值，所以把p(x)换成跟它成正比的ρ(x)也是可以的，最终简化成：
Ex∼p(x)[f(x)]≈N∑i=1ρ(xi)/q(xi)⋅f(xi)N∑i=1ρ(xi)/q(xi),x1,⋯,xN∼q(x)

拒绝采样 #

上一节的重要性采样实现了将复杂分布期望转化为简单分布期望，但这还不是我们的真正目的，我们要实现的是把样本从分布p(x)中采样出来，而不是估算它的某个期望。思想依然跟重要性采样一样，引入易于采样的分布q(x)，然后从中随机地筛掉某些样本，使得剩下的样本服从分布p(x)。

具体来说，假设有函数α(x)∈[0,1]，我们按照如下流程进行采样，即“拒绝采样（Rejection Sampling）”：

拒绝采样 从q(x)采样一个样本x，从U[0,1]中采样一个随机数ε，若ε≤α(x)则接受该样本，否则拒绝并重新按照此流程采样。

那么，此时采样出来的x真正的概率分布是什么呢？其实也不难，由于样本x被保留下来的概率是α(x)，因此它的相对概率就是q(x)α(x)，我们只需要将它重新归一化
q(x)α(x)∑xq(x)α(x)
就得到拒绝采样对应的真正的概率分布了，从这个形式也可以看出，将接受率乘以一个0到1之间的数，理论上拒绝采样对应的分布是不变的。

这个过程启示我们，拒绝采样可以让我们实现从正比于q(x)α(x)的分布中采样，那么根据p(x)=q(x)p(x)q(x)，我们可以让α(x)=p(x)q(x)作为接受概率，来进行从q(x)出发的拒绝采样，结果就相当于从p(x)采样了。当然，还没那么简单，根据概率的归一化性质，除非q(x)恒等于p(x)，否则p(x)q(x)不可能一直都在[0,1]内。但这不要紧，只要p(x)q(x)有上界，那么我们就可以选择一个足够大的常数M，使得p(x)q(x)⋅M∈[0,1]，此时以α(x)=p(x)q(x)⋅M为接受概率即可，刚才我们说了，乘以一个常数不会影响拒绝采样对应的分布。换句话说，也就是这个过程同样不依赖于完全精确的p(x)，可以将p(x)换成跟它成正比的ρ(x)。

关于接受率α(x)，尽管理论上只要求它α(x)∈[0,1]就行了，但实际上还是以max为好，这是因为过小的接受率会导致拒绝太多（几乎来一个拒绝一个），采样效率太低，生成一个合理的样本的成本过大了。类似地，尽管理论上对q(\boldsymbol{x})的要求只是易于采样并且\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}有上界，但实际上q(\boldsymbol{x})与p(\boldsymbol{x})仍然是越相近越好，否则依然可能造成接受率过低而导致采样成本大到难以接受。所以，尽管拒绝采样看上去提供了一种几乎能从任意分布p(\boldsymbol{x})中进行采样的方案，但实际应用时近似分布q(\boldsymbol{x})的设计依然是一个不小的难题。

本文小结 #

从本文开始，我们开了个新坑，试图从离散优化的角度来完成某些文本生成任务（受限文本生成）。它通过确定一个定量的评估目标，然后通过最大化这个目标或者从中采样就可以得到我们想要的输出，而不需要标签数据监督训练新模型。在这个过程中，所要用到的工具是一些主要是采样算法，本文先介绍了其中很基本的重要性采样和拒绝采样，后面将会继续完善该系列文章，敬请大家期待。

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苏剑林. (Jan. 07, 2021). 《【搜出来的文本】⋅（一）从文本生成到搜索采样 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/8062

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        title={【搜出来的文本】⋅（一）从文本生成到搜索采样},
        author={苏剑林},
        year={2021},
        month={Jan},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/8062}},
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