最近,笔者入了一个新坑:基于离散优化的思想做一些文本生成任务。简单来说,就是把我们要生成文本的目标量化地写下来,构建一个分布,然后搜索这个分布的最大值点或者从这个分布中进行采样,这个过程通常不需要标签数据的训练。由于语言是离散的,因此梯度下降之类的连续函数优化方法不可用,并且由于这个分布通常没有容易采样的形式,直接采样也不可行,因此需要一些特别设计的采样算法,比如拒绝采样(Rejection Sampling)、MCMC(Markov Chain Monte Carlo)、MH采样(Metropolis-Hastings Sampling)、吉布斯采样(Gibbs Sampling),等等。

有些读者可能会觉得有些眼熟,似乎回到了让人头大的学习LDA(Latent Dirichlet Allocation)的那些年?没错,上述采样算法其实也是理解LDA模型的必备基础。本文我们就来回顾这些形形色色的采样算法,它们将会出现在后面要介绍的丰富的文本生成应用中。

明确目标 #

很多时候,我们需要根据一些特定的信息$\boldsymbol{c}$来生成目标文本$\boldsymbol{x}$,用数学的话说就是条件语言模型$p(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{c})$,不过我们无法得到足够多的语料对$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{c})$去直接监督训练一个条件语言模型,而是只能训练一个无条件的语言模型$p(\boldsymbol{x})$,但我们又可以人为地设计一个指标来定量描述$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{c}$之间的联系。那么在这种情况下,如何根据无条件的语言模型$p(\boldsymbol{x})$和$\boldsymbol{x},\boldsymbol{c}$之间的联系来做有条件的文本生成,便成为了我们的研究对象。我们可以称之为“受限文本生成(Constrained Text Generation)

举例来说,用关键词造句,那么$\boldsymbol{c}$就是关键词的集合,我们可以定义示性函数:
\begin{equation}\chi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})=\left\{\begin{aligned}&1,\,\,\text{如果}\boldsymbol{x}\text{包含关键词集}\boldsymbol{c} \\
&0,\,\,\text{如果}\boldsymbol{x}\text{不包含关键词集}\boldsymbol{c}\end{aligned}\right.
\end{equation}
继而定义
\begin{equation}\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c}) = p(\boldsymbol{x})\chi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})\end{equation}
$p(\boldsymbol{x})$保证了生成句子的流畅性,$\chi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$保证了生成句子包含所要求的关键词,那么问题就可以变成最大化操作$\mathop{\arg\max}\limits_{\boldsymbol{x}} \rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$或采样操作$\boldsymbol{x}\sim \rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$。当然,这里的$\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$还不是概率分布,要完成归一化后才是真正的概率分布:
\begin{equation}\frac{\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})}{\sum\limits_{\boldsymbol{x}}\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})} = \frac{p(\boldsymbol{x})\chi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})}{\sum\limits_{\boldsymbol{x}}p(\boldsymbol{x})\chi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})}\end{equation}
但分母通常是难以显式计算出来的。那也就是说,我们对待采样分布也只了解到它正比于某个函数$\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$,而不知道精确的分布表达式。

类似的例子并不少,比如说文本摘要。什么是文本摘要呢?其实就是用更少的文字$\boldsymbol{x}$尽可能表达出跟原文$\boldsymbol{c}$一样的意思,这时候我们可以定义:
\begin{equation}\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c}) = p(\boldsymbol{x})\cdot \text{sim}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})\cdot \chi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})\end{equation}
这里的$\text{sim}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$是某个文本相似度函数,而$\chi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$是长度的示性函数,即$\boldsymbol{x}$的长度在某个范围(可能依赖于$\boldsymbol{c}$)内,它就为1,否则为0。此时我们同样得到了一个未归一化的概率分布$\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c})$,需要最大化它或者从它里边采样。很明显,这个目标就意味着我们要得到一段跟原文语义尽可能相似的、长度满足一定约束的文字,这不就是摘要的存在意义吗?所以,这套思路的核心出发点就在于:我们要把自己要生成的目标定量地捋清楚,然后再去执行下一步操作。

困难分析 #

所以,抛开前面的背景不说,现在我们面临的问题就是有一个分布$p(\boldsymbol{x})$,我们只知道$p(\boldsymbol{x})\propto \rho(\boldsymbol{x})$,即
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}) = \frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\sum\limits_{\boldsymbol{x}} \rho(\boldsymbol{x})}\end{equation}
中的分母我们无法显式计算出来。在本系列文章中,$\boldsymbol{x}$代表文本,即一个离散元素的序列,但后面的推论同样也适用于$\boldsymbol{x}$是连续型向量的场景。现在我们要搜索最大位置$\mathop{\arg\max}\limits_{\boldsymbol{x}} p(\boldsymbol{x})$或进行采样$\boldsymbol{x}\sim p(\boldsymbol{x})$,后面我们将会看到,搜索最大值其实也可以看成是采样的特例,因此我们主要关心采样方式。

前面说了,之所以需要设计一些特别的算法来完成采样,是因为直接从$p(\boldsymbol{x})$中采样是困难的,而我们需要理解采样的困难所在,才能真正理解后面所设计的采样算法的关键之处。困难在哪?如果$\boldsymbol{x}$的候选值空间不大,哪怕有100万个候选值,我们都可以把每个$p(\boldsymbol{x})$都算出来,然后按照普通的类别采样来进行。然而,一般$\boldsymbol{x}$的候选值空间远远不止100万,假如$\boldsymbol{x}$有10个分量,每个分量有1万个选择(对应于词表大小),那么总的排列就有$10^{40}$种了,不可能事先算好每一种排列的概率然后依概率采样。

那怎么办呢?所谓“不积硅步,无以至千里”,那就只能一步步来了,也就是说,我没法直接实现$10^{40}$选1,那我做10次“$10^4$选1”可以吗?这就对应着所谓的“自回归生成”:
\begin{equation}p(\boldsymbol{x})=p(x_1) p(x_2|x_1) p(x_3|x_1, x_2) \cdots p(x_n|x_1,\cdots,x_{n-1}) = \prod_{t=1}^n p(x_t|\boldsymbol{x}_{< t})\end{equation}
这样我们就可以先从$p(x_1)$采样一个$x_1$,然后从$p(x_2|x_1)$中采样一个$x_2$,依此递归了。但是,自回归生成只是对应于无条件的语言模型或者是有监督训练的Seq2Seq模型,而如果希望像前面举的例子那样,往无条件语言模型的生成过程中加点约束,那么对应出来的模型就不再是自回归的了,也就无法按照这样的递归采样了。

所以,我们就不得不需要后面介绍的各种采样算法了,它也是“一步步来”的思想,但所使用的分布形式更加广泛一些。

重要采样 #

《从采样看优化:可导优化与不可导优化的统一视角》《如何划分一个跟测试集更接近的验证集?》等文章里,我们介绍过“重要性采样”的概念,即如果我们想估计期望$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim p(\boldsymbol{x})}[f(\boldsymbol{x})]$,但是$p(\boldsymbol{x})$又不是易于采样的分布,那么我们可以找一个跟$p(\boldsymbol{x})$相近的、易于采样的分布$q(\boldsymbol{x})$,然后根据下述变换
\begin{equation}
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim p(\boldsymbol{x})}[f(\boldsymbol{x})] = \sum_{\boldsymbol{x}} p(\boldsymbol{x}) f(\boldsymbol{x}) = \sum_{\boldsymbol{x}} q(\boldsymbol{x})\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}f(\boldsymbol{x}) = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim q(\boldsymbol{x})}\left[\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}f(\boldsymbol{x})\right]
\end{equation}
转化为从$q(\boldsymbol{x})$采样来算$\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}f(\boldsymbol{x})$的期望了,也就是用$\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}$对每个样本进行加权,所以它被称为“重要性采样(Importance Sampling)”。如果只知道$p(\boldsymbol{x})\propto \rho(\boldsymbol{x})$,那么重要性采样也是可以进行的,这是因为
\begin{equation}1 = \sum_{\boldsymbol{x}} p(\boldsymbol{x}) = \sum_{\boldsymbol{x}} q(\boldsymbol{x})\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})} = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim q(\boldsymbol{x})}\left[\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}\right]\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim q(\boldsymbol{x})}\left[\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}f(\boldsymbol{x})\right] = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim q(\boldsymbol{x})}\left[\frac{p(\boldsymbol{x}) / q(\boldsymbol{x})}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim q(\boldsymbol{x})}[p(\boldsymbol{x}) / q(\boldsymbol{x})]}f(\boldsymbol{x})\right]
\end{equation}
这样一来,我们发现上式只依赖于$p(\boldsymbol{x})$的相对值,不依赖于它的绝对值,所以把$p(\boldsymbol{x})$换成跟它成正比的$\rho(\boldsymbol{x})$也是可以的,最终简化成:
\begin{equation}
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim p(\boldsymbol{x})}[f(\boldsymbol{x})] \approx \frac{\sum\limits_{i=1}^N \rho(\boldsymbol{x}_i) / q(\boldsymbol{x}_i) \cdot f(\boldsymbol{x}_i)}{\sum\limits_{i=1}^N
\rho(\boldsymbol{x}_i) / q(\boldsymbol{x}_i)},\quad \boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_N\sim q(\boldsymbol{x})\end{equation}

拒绝采样 #

上一节的重要性采样实现了将复杂分布期望转化为简单分布期望,但这还不是我们的真正目的,我们要实现的是把样本从分布$p(\boldsymbol{x})$中采样出来,而不是估算它的某个期望。思想依然跟重要性采样一样,引入易于采样的分布$q(\boldsymbol{x})$,然后从中随机地筛掉某些样本,使得剩下的样本服从分布$p(\boldsymbol{x})$。

具体来说,假设有函数$\alpha(\boldsymbol{x})\in [0, 1]$,我们按照如下流程进行采样,即“拒绝采样(Rejection Sampling)”:

拒绝采样 从$q(\boldsymbol{x})$采样一个样本$\boldsymbol{x}$,从$U[0,1]$中采样一个随机数$\varepsilon$,若$\varepsilon \leq \alpha(\boldsymbol{x})$则接受该样本,否则拒绝并重新按照此流程采样。

那么,此时采样出来的$\boldsymbol{x}$真正的概率分布是什么呢?其实也不难,由于样本$\boldsymbol{x}$被保留下来的概率是$\alpha(\boldsymbol{x})$,因此它的相对概率就是$q(\boldsymbol{x})\alpha(\boldsymbol{x})$,我们只需要将它重新归一化
\begin{equation}\frac{q(\boldsymbol{x})\alpha(\boldsymbol{x})}{\sum\limits_{\boldsymbol{x}} q(\boldsymbol{x})\alpha(\boldsymbol{x})}\end{equation}
就得到拒绝采样对应的真正的概率分布了,从这个形式也可以看出,将接受率乘以一个0到1之间的数,理论上拒绝采样对应的分布是不变的

这个过程启示我们,拒绝采样可以让我们实现从正比于$q(\boldsymbol{x})\alpha(\boldsymbol{x})$的分布中采样,那么根据$p(\boldsymbol{x})=q(\boldsymbol{x})\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}$,我们可以让$\alpha(\boldsymbol{x})=\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}$作为接受概率,来进行从$q(\boldsymbol{x})$出发的拒绝采样,结果就相当于从$p(\boldsymbol{x})$采样了。当然,还没那么简单,根据概率的归一化性质,除非$q(\boldsymbol{x})$恒等于$p(\boldsymbol{x})$,否则$\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}$不可能一直都在$[0, 1]$内。但这不要紧,只要$\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}$有上界,那么我们就可以选择一个足够大的常数$M$,使得$\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})\cdot M}\in [0, 1]$,此时以$\alpha(\boldsymbol{x})=\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})\cdot M}$为接受概率即可,刚才我们说了,乘以一个常数不会影响拒绝采样对应的分布。换句话说,也就是这个过程同样不依赖于完全精确的$p(\boldsymbol{x})$,可以将$p(\boldsymbol{x})$换成跟它成正比的$\rho(\boldsymbol{x})$。

关于接受率$\alpha(\boldsymbol{x})$,尽管理论上只要求它$\alpha(\boldsymbol{x})\in[0, 1]$就行了,但实际上还是以$\max\limits_{\boldsymbol{x}}\alpha(\boldsymbol{x}) = 1$为好,这是因为过小的接受率会导致拒绝太多(几乎来一个拒绝一个),采样效率太低,生成一个合理的样本的成本过大了。类似地,尽管理论上对$q(\boldsymbol{x})$的要求只是易于采样并且$\frac{p(\boldsymbol{x})}{q(\boldsymbol{x})}$有上界,但实际上$q(\boldsymbol{x})$与$p(\boldsymbol{x})$仍然是越相近越好,否则依然可能造成接受率过低而导致采样成本大到难以接受。所以,尽管拒绝采样看上去提供了一种几乎能从任意分布$p(\boldsymbol{x})$中进行采样的方案,但实际应用时近似分布$q(\boldsymbol{x})$的设计依然是一个不小的难题。

本文小结 #

从本文开始,我们开了个新坑,试图从离散优化的角度来完成某些文本生成任务(受限文本生成)。它通过确定一个定量的评估目标,然后通过最大化这个目标或者从中采样就可以得到我们想要的输出,而不需要标签数据监督训练新模型。在这个过程中,所要用到的工具是一些主要是采样算法,本文先介绍了其中很基本的重要性采样和拒绝采样,后面将会继续完善该系列文章,敬请大家期待。

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如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (Jan. 07, 2021). 《【搜出来的文本】⋅(一)从文本生成到搜索采样 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/8062