太阳中心的压强和温度
By 苏剑林 | 2010-07-19 | 33391位读者 |为了准备IOAA,同时也加深对天体物理的理解,所以就系统地学习一下天体物理学了。今天看到“太阳”这一章,并由此简单估算了一下太阳的中心压强和温度。
天体物理学给出了关于恒星结构的一些方程。假设存在一颗各项同性的球形恒星,则有
dm(r)dr=4πr2ρ(r)————质量方程
其中m(r)是与恒星球心距离为r的一个球形区域内的总质量,ρ(r)是距离球心r处的物质的密度。我们也可以写成积分的形式
m(r)=∫R04πr2ρ(r)dr
其中R是恒星半径。这个方程的意思其实就是每一个壳层的质量叠加,所以就不详细推导了。
另外,对于恒星的压强,还给出了方程:
dP(r)dr=−Gm(r)r2ρ(r)=————流体静力学平衡方程
因为Gm(r)r2=g(r),g(r)是距离球心r处的重力加速度,所以方程也可以写成:
dP(r)dr=−g(r)ρ(r)
这个方程的推导其实也不难的。恒星也可以近似看作流体,对于一个极小的变化值dr内,g(r)=Gm(r)r2可以视为恒定的,厚度为dr的一个壳层,质量约为4πr2ρ(r)dr,重力就是4πr2ρ(r)g(r)dr。受力面积为4πr2,所以此处的压强为ΔP=g(r)ρ(r)dr。注意,dP是恒星(r+dr)处的压强与r处的压强差,所以dP应该为负数。所以
dP=−g(r)ρ(r)dr
好了,现在我们可以尝试估算一下太阳中心压强和温度了。我们可以需要有两个假设条件:1.太阳是均匀的,也就是密度恒定为ρ=1411kg//m3;2.太阳表面压强为0。这两个假设都是不正确的,但是对于我们简单估算太阳的相关参数来说已经足够了。
假设太阳密度恒定后,我们可以把质量方程积分得到m(r)=43πr3ρ。并代入压强方程,有
dP=−43Gπrρ2
积分得到:P=−23Gπr2ρ2+C。把初始条件(r=R,P=0)代入,求出C=23GπR2ρ2,即P=23Gπρ2(R2−r2)。把r=0代入,结果就是中心的压强,因此有
Pc=23GπR2ρ2≈1.347⋅1014Pa
又该如何估算中心温度呢?对于压强,我们有P=nkT,n是单位体积的分子数,k=1.38066∗10−23J//K,T是温度。对于理想气体来说,n=ρm,m是单个分子的平均质量。太阳中94%都是氢,因此m≈1.66∗10−27kg,可以计算出Tc≈11480000K
误差分析:
经过更精密的理论计算,得到太阳中心压强为3.4∗1016Pa,中心温度为1500万K;压强是我们估计的近200倍,而温度则是我们估算的1.3倍。可见两个结果都偏小了。经过计算,除了让我们对太阳的研究有一个很小的了解外,我们还可以认识到太阳的密度是不均匀的(显而易见...)、太阳不是特别理想的流体等....
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