老式机械摆钟.jpg“滴答滴答,滴答滴答——”当我们看到家里的摆钟来回摆动,并且能够准确地报时的时候,有没有想过其中的奥妙呢?

有一天,你想捉弄一下妈妈,把钟摆系上一个重物,心想着钟一定会走得更快,妈妈就会乱套了。可是很快你会失望地发现,摆钟依然准时地走着,没有任何异常,时间仿佛在宣告他的不可控制。你感到非常纳闷:为什么我的计划会失败呢?

据说,世界上第一个研究单摆的人是伽利略,他通过多次实验得出结论:单摆的周期只取决于摆绳的长度,和摆的重量无关。这是你明白了,原来要捉弄妈妈,应该要增加钟摆长度才对...^_^

现在我们来分析一下这个单摆....

单摆示意图.PNG

设单摆的长度为l,在下落过程中只考虑重力因素,那么机械能是守恒的。点A是始点,此时速度为0;当摆下落到B点后,速度为v,动能为$1/2 mv^2$,动能是由重力势能转化而来的,设$RQ=h=l(cos\theta-cos\theta_0)$,重力势能的减少量为$mgh=mgl(cos\theta-cos\theta_0)$。于是我们可以列出
$v^2=2gl(cos\theta-cos\theta_0)=(\frac{ds}{dt})^2=(l\frac{d\theta}{dt})^2$
$\frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{2g}{l}}\sqrt{cos\theta-cos\theta_0}$

利用$cos\theta=1-2sin^2 \frac{\theta}{2}$,可以变换成
$\frac{dt}{d\theta}=1/2 \sqrt{\frac{l}{g}}\frac{1}{\sqrt{sin^2 \frac{\theta_0}{2}-sin^2 \frac{\theta}{2}}}$

对于摆来说,一个周期T定义为从A点到达C点再回到A点所用的时间,由于从A—P与从P—C所用时间是相同的,所以$T=4T_{AP}$,即
$T=4\int_0^{\theta_0} 1/2 \sqrt{\frac{l}{g}}\frac{d\theta}{\sqrt{sin^2 \frac{\theta_0}{2}-sin^2 \frac{\theta}{2}}}$

单摆动画.gif

实际上,对于不同的$\theta_0$,这个积分的结果是不一样的,但是为什么高中书本上都说周期和角度无关呢?当$\theta$比较小的时候,我们用关系式$sin^2 \frac{\theta}{2}\approx (\frac{\theta}{2})^2$,替换后变成
$T=4\sqrt{\frac{l}{g}}\int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{\theta_0^2-\theta^2}}$

由定积分的知识可以知道,结果为$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,这正是伽利略的结果,与质量、初始角度无关。

如果需要精确的算法,可以从以下方向思考:

令$sin\frac{\theta_0}{2}=k,sin\frac{\theta}{2}=k sin\varphi$,$\varphi \in(0,\frac{\pi}{2})$,则$1/2 cos\frac{\theta}{2}d\theta=kcos\varphi$,即
$d\theta=\frac{2k cos\varphi d\varphi }{\sqrt{1-k^2 sin^2 \varphi}}$

代入后得到
$T=4\sqrt{\frac{l}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 sin^2 \varphi}}$

这类积分成为“第一类椭圆积分”。其结果为:

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}(1+\frac{1}{2^2}sin^2 \frac{\theta}{2}+\frac{1*3^2}{2^2*4^2}sin^4 \frac{\theta}{2}+...)$

如果只取到第一项,那么就是刚开始的近似公式。推导过程可以查阅大学的《数学分析》教程,或者参考下边的图片。第一类椭圆积分.PNG

数学传播-单摆的详细分析.pdf


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