科学空间|Scientific Spaces

随着LLM时代的到来，学术界对于优化器的研究热情似乎有所减退。这主要是因为目前主流的AdamW已经能够满足大多数需求，而如果对优化器“大动干戈”，那么需要巨大的验证成本。因此，当前优化器的变化，多数都只是工业界根据自己的训练经验来对AdamW打的一些小补丁。

不过，最近推特上一个名为“Muon”的优化器颇为热闹，它声称比AdamW更为高效，且并不只是在Adam基础上的“小打小闹”，而是体现了关于向量与矩阵差异的一些值得深思的原理。本文让我们一起赏析一番。

Muon与AdamW效果对比（来源：推特@Yuchenj_UW）

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这几天在重温去年的Meta的一篇论文《A Theory on Adam Instability in Large-Scale Machine Learning》，里边给出了看待Adam等自适应学习率优化器的新视角：它指出梯度平方的滑动平均某种程度上近似于在估计Hessian矩阵的平方，从而Adam、RMSprop等优化器实际上近似于二阶的Newton法。

这个角度颇为新颖，而且表面上跟以往的一些Hessian近似有明显的差异，因此值得我们去学习和思考一番。

牛顿下降

设损失函数为$\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})$，其中待优化参数为$\boldsymbol{\theta}$，我们的优化目标是
\begin{equation}\boldsymbol{\theta}^* = \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\theta}} \mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})\label{eq:loss}\end{equation}
假设$\boldsymbol{\theta}$的当前值是$\boldsymbol{\theta}_t$，Newton法通过将损失函数展开到二阶来寻求$\boldsymbol{\theta}_{t+1}$：
\begin{equation}\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})\approx \mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}_t) + \boldsymbol{g}_t^{\top}(\boldsymbol{\theta} - \boldsymbol{\theta}_t) + \frac{1}{2}(\boldsymbol{\theta} - \boldsymbol{\theta}_t)^{\top}\boldsymbol{\mathcal{H}}_t(\boldsymbol{\theta} - \boldsymbol{\theta}_t)\end{equation}

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继续回到我们的扩散系列。在《生成扩散模型漫谈（二十五）：基于恒等式的蒸馏（上）》中，我们介绍了SiD（Score identity Distillation），这是一种不需要真实数据、也不需要从教师模型采样的扩散模型蒸馏方案，其形式类似GAN，但有着比GAN更好的训练稳定性。

SiD的核心是通过恒等变换来为学生模型构建更好的损失函数，这一点是开创性的，同时也遗留了一些问题。比如，SiD对损失函数的恒等变换是不完全的，如果完全变换会如何？如何从理论上解释SiD引入的$\lambda$的必要性？上个月放出的《Flow Generator Matching》（简称FGM）成功从更本质的梯度角度解释了$\lambda=0.5$的选择，而受到FGM启发，笔者则进一步发现了$\lambda = 1$的一种解释。

接下来我们将详细介绍SiD的上述理论进展。

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上一篇文章《当Batch Size增大时，学习率该如何随之变化？》我们从多个角度讨论了学习率与Batch Size之间的缩放规律，其中对于Adam优化器我们采用了SignSGD近似，这是分析Adam优化器常用的手段。那么一个很自然的问题就是：用SignSGD来近似Adam究竟有多科学呢？

我们知道，Adam优化器的更新量分母会带有一个$\epsilon$，初衷是预防除零错误，所以其值通常很接近于零，以至于我们做理论分析的时候通常选择忽略掉它。然而，当前LLM的训练尤其是低精度训练，我们往往会选择偏大的$\epsilon$，这导致在训练的中、后期$\epsilon$往往已经超过梯度平方大小，所以$\epsilon$的存在事实上已经不可忽略。

因此，这篇文章我们试图探索$\epsilon$如何影响Adam的学习率与Batch Size的Scaling Law，为相关问题提供一个参考的计算方案。

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随着算力的飞速进步，有越多越多的场景希望能够实现“算力换时间”，即通过堆砌算力来缩短模型训练时间。理想情况下，我们希望投入$n$倍的算力，那么达到同样效果的时间则缩短为$1/n$，此时总的算力成本是一致的。这个“希望”看上去很合理和自然，但实际上并不平凡，即便我们不考虑通信之类的瓶颈，当算力超过一定规模或者模型小于一定规模时，增加算力往往只能增大Batch Size。然而，增大Batch Size一定可以缩短训练时间并保持效果不变吗？

这就是接下来我们要讨论的话题：当Batch Size增大时，各种超参数尤其是学习率该如何调整，才能保持原本的训练效果并最大化训练效率？我们也可以称之为Batch Size与学习率之间的Scaling Law。

方差视角

直觉上，当Batch Size增大时，每个Batch的梯度将会更准，所以步子就可以迈大一点，也就是增大学习率，以求更快达到终点，缩短训练时间，这一点大体上都能想到。问题就是，增大多少才是最合适的呢？

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在《VQ的旋转技巧：梯度直通估计的一般推广》中，我们介绍了VQ（Vector Quantization）的Rotation Trick，它的思想是通过推广VQ的STE（Straight-Through Estimator）来为VQ设计更好的梯度，从而缓解VQ的编码表坍缩、编码表利用率低等问题。

无独有偶，昨天发布在arXiv上的论文《Addressing Representation Collapse in Vector Quantized Models with One Linear Layer》提出了改善VQ的另一个技巧：给编码表加一个线性变换。这个技巧单纯改变了编码表的参数化方式，不改变VQ背后的理论框架，但实测效果非常优异，称得上是简单有效的经典案例。

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随着多模态LLM的方兴未艾，VQ（Vector Quantization）的地位也“水涨船高”，它可以作为视觉乃至任意模态的Tokenizer，将多模态数据统一到自回归生成框架中。遗憾的是，自VQ-VAE首次提出VQ以来，其理论并没有显著进步，像编码表的坍缩或利用率低等问题至今仍亟待解决，取而代之的是FSQ等替代方案被提出，成为了VQ有力的“竞争对手”。

然而，FSQ并不能在任何场景下都替代VQ，所以VQ本身的改进依然是有价值的。近日笔者读到了《Restructuring Vector Quantization with the Rotation Trick》，它提出了一种旋转技巧，声称能改善VQ的一系列问题，本文就让我们一起来品鉴一下。

回顾

早在五年前的博文《VQ-VAE的简明介绍：量子化自编码器》中我们就介绍过了VQ-VAE，后来在《简单得令人尴尬的FSQ：“四舍五入”超越了VQ-VAE》介绍FSQ的时候，也再次仔细地温习了VQ-VAE，还不了解的读者可以先阅读这两篇文章。

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Softmax，顾名思义是“soft的max”，是$\max$算子（准确来说是$\text{argmax}$）的光滑近似，它通过指数归一化将任意向量$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$转化为分量非负且和为1的新向量，并允许我们通过温度参数来调节它与$\text{argmax}$（的one hot形式）的近似程度。除了指数归一化外，我们此前在《通向概率分布之路：盘点Softmax及其替代品》也介绍过其他一些能实现相同效果的方案。

我们知道，最大值通常又称Top-1，它的光滑近似方案看起来已经相当成熟，那读者有没有思考过，一般的Top-$k$的光滑近似又是怎么样的呢？下面让我们一起来探讨一下这个问题。

问题描述

设向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$，简单起见我们假设它们两两不相等，即$i\neq j \Leftrightarrow x_i\neq x_j$。记$\Omega_k(\boldsymbol{x})$为$\boldsymbol{x}$最大的$k$个分量的下标集合，即$|\Omega_k(\boldsymbol{x})|=k$以及$\forall i\in \Omega_k(\boldsymbol{x}), j \not\in \Omega_k(\boldsymbol{x})\Rightarrow x_i > x_j$。我们定义Top-$k$算子$\mathcal{T}_k$为$\mathbb{R}^n\mapsto\{0,1\}^n$的映射：
\begin{equation}
[\mathcal{T}_k(\boldsymbol{x})]_i = \left\{\begin{aligned}1,\,\, i\in \Omega_k(\boldsymbol{x}) \\ 0,\,\, i \not\in \Omega_k(\boldsymbol{x})\end{aligned}\right.
\end{equation}
说白了，如果$x_i$属于最大的$k$个元素之一，那么对应的位置变成1，否则变成0，最终结果是一个Multi-Hot向量，比如$\mathcal{T}_2([3,2,1,4]) = [1,0,0,1]$。

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