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正项级数敛散性最有力的判别法?
By 苏剑林 | 2013-05-17 | 94196位读者 | 引用在学习正项级数的时候,我们的数学分析教材提供了各种判别法,比如积分判别法、比较判别法,并由此衍生出了根植法、比值法等,在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度(强度)各不相同,一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来,基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了,它才是最强的方法。
p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$
通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛,反之发散。虽然我不能证明,但是我觉得以下结论是成立的:
若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛,则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p,使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。
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