科学空间|Scientific Spaces

之前在《Transformer升级之路：3、从Performer到线性Attention》、《为什么现在的LLM都是Decoder-only的架构？》等文章中，我们从Attention矩阵的“秩”的角度探讨了Attention机制，并曾经判断线性Attention不如标准Attention的关键原因正是“低秩瓶颈”。然而，这一解释对于双向的Encoder模型或许成立，但却难以适用于单向的Decoder模型，因为Decoder的Attention矩阵的上三角部分是被mask掉的，留下的下三角矩阵必然是满秩的，而既然都是满秩了，那么低秩瓶颈问题似乎就不复存在了。

所以，“低秩瓶颈”并不能完全解释线性Attention的能力缺陷。在这篇文章中，笔者试图寻求另一个角度的解释。简单来说，与标准Attention相比，线性Attention更难“集中注意力”，从而难以准确地定位到关键token，这大概是它效果稍逊一筹的主要原因。

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深度学习这个箱子，远比我们想象的要黑。

写在开头

据说物理学家费曼说过一句话^[来源]：“谁要是说他懂得量子力学，那他就是真的不懂量子力学。”我现在越来越觉得，这句话中的“量子力学”也可以替换为“深度学习”。尽管深度学习已经在越来越多的领域证明了其有效性，但我们对它的解释性依然相当无力。当然，这几年来已经有不少工作致力于打开深度学习这个黑箱，但是很无奈，这些工作基本都是“马后炮”式的，也就是在已有的实验结果基础上提出一些勉强能说服自己的解释，无法做到自上而下的构建和理解模型的原理，更不用说提出一些前瞻性的预测。

本文关注的是自注意力机制。直观上来看，自注意力机制算是解释性比较强的模型之一了，它通过自己与自己的Attention来自动捕捉了token与token之间的关联，事实上在《Attention is All You Need》那篇论文中，就给出了如下的看上去挺合理的可视化效果：

《Attention is All You Need》一文中对Attention的可视化例子

但自注意力机制真的是这样生效的吗？这种“token对token”的注意力是必须的吗？前不久Google的新论文《Synthesizer: Rethinking Self-Attention in Transformer Models》对自注意力机制做了一些“异想天开”的探索，里边的结果也许会颠覆我们对自注意力的认知。

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对于Transformer模型来说，其长度的外推性是我们一直在追求的良好性质，它是指我们在短序列上训练的模型，能否不用微调地用到长序列上并依然保持不错的效果。之所以追求长度外推性，一方面是理论的完备性，觉得这是一个理想模型应当具备的性质，另一方面也是训练的实用性，允许我们以较低成本（在较短序列上）训练出一个长序列可用的模型。

下面我们来分析一下加强Transformer长度外推性的关键思路，并由此给出一个“超强基线”方案，然后我们带着这个“超强基线”来分析一些相关的研究工作。

思维误区

第一篇明确研究Transformer长度外推性的工作应该是ALIBI，出自2021年中期，距今也不算太久。为什么这么晚（相比Transformer首次发表的2017年）才有人专门做这个课题呢？估计是因为我们长期以来，都想当然地认为Transformer的长度外推性是位置编码的问题，找到更好的位置编码就行了。

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最近几周笔者一直都在思考注意力机制的相关性质，在这个过程中对注意力及Softmax有了更深刻的理解。在这篇文章中，笔者简单分享其中的两点：

1、Softmax注意力天然能够抵御一定的噪声扰动；

2、从信息熵角度也可以对初始化问题形成直观理解。

鲁棒性

基于Softmax归一化的注意力机制，可以写为
\begin{equation}o = \frac{\sum\limits_{i=1}^n e^{s_i} v_i}{\sum\limits_{i=1}^n e^{s_i}}\end{equation}
有一天笔者突然想到一个问题：如果往$s_i$中加入独立同分布的噪声会怎样？

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2017年中，有两篇类似同时也是笔者非常欣赏的论文，分别是FaceBook的《Convolutional Sequence to Sequence Learning》和Google的《Attention is All You Need》，它们都算是Seq2Seq上的创新，本质上来说，都是抛弃了RNN结构来做Seq2Seq任务。

这篇博文中，笔者对《Attention is All You Need》做一点简单的分析。当然，这两篇论文本身就比较火，因此网上已经有很多解读了（不过很多解读都是直接翻译论文的，鲜有自己的理解），因此这里尽可能多自己的文字，尽量不重复网上各位大佬已经说过的内容。

序列编码

深度学习做NLP的方法，基本上都是先将句子分词，然后每个词转化为对应的词向量序列。这样一来，每个句子都对应的是一个矩阵$\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_t)$，其中$\boldsymbol{x}_i$都代表着第$i$个词的词向量（行向量），维度为$d$维，故$\boldsymbol{X}\in \mathbb{R}^{n\times d}$。这样的话，问题就变成了编码这些序列了。

第一个基本的思路是RNN层，RNN的方案很简单，递归式进行：
\begin{equation}\boldsymbol{y}_t = f(\boldsymbol{y}_{t-1},\boldsymbol{x}_t)\end{equation}
不管是已经被广泛使用的LSTM、GRU还是最近的SRU，都并未脱离这个递归框架。RNN结构本身比较简单，也很适合序列建模，但RNN的明显缺点之一就是无法并行，因此速度较慢，这是递归的天然缺陷。另外我个人觉得RNN无法很好地学习到全局的结构信息，因为它本质是一个马尔科夫决策过程。

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attention, please!

如今NLP领域，Attention大行其道，当然也不止NLP，在CV领域Attention也占有一席之地（Non Local、SAGAN等）。在18年初《〈Attention is All You Need〉浅读（简介+代码）》一文中，我们就已经讨论过Attention机制，Attention的核心在于$\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}$三个向量序列的交互和融合，其中$\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K}$的交互给出了两两向量之间的某种相关度（权重），而最后的输出序列则是把$\boldsymbol{V}$按照权重求和得到的。

显然，众多NLP&CV的成果已经充分肯定了Attention的有效性。本文我们将会介绍Attention的一些变体，这些变体的共同特点是——“为节约而生”——既节约时间，也节约显存。

背景简述

《Attention is All You Need》一文讨论的我们称之为“乘性Attention”，目前用得比较广泛的也就是这种Attention：
\begin{equation}Attention(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}) = softmax\left(\frac{\boldsymbol{Q}\boldsymbol{K}^{\top}}{\sqrt{d_k}}\right)\boldsymbol{V}\end{equation}

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看过笔者之前的文章《线性Attention的探索：Attention必须有个Softmax吗？》和《Performer：用随机投影将Attention的复杂度线性化》的读者，可能会觉得本文的标题有点不自然，因为是先有线性Attention然后才有Performer的，它们的关系为“Performer是线性Attention的一种实现，在保证线性复杂度的同时保持了对标准Attention的近似”，所以正常来说是“从线性Attention到Performer”才对。

然而，本文并不是打算梳理线性Attention的发展史，而是打算反过来思考Performer给线性Attention所带来的启示，所以是“从Performer到线性Attention”。

激活函数

线性Attention的常见形式是
\begin{equation}Attention(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V})_i = \frac{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)} = \frac{\sum\limits_{j=1}^n \phi(\boldsymbol{q}_i)^{\top} \varphi(\boldsymbol{k}_j)\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n \phi(\boldsymbol{q}_i)^{\top} \varphi(\boldsymbol{k}_j)}\end{equation}

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在之前的文章《最小熵原理（六）：词向量的维度应该怎么选择？》中，我们基于最小熵思想推导出了一个词向量维度公式“$n > 8.33\log N$”，然后在《让人惊叹的Johnson-Lindenstrauss引理：应用篇》中我们进一步指出，该结果与JL引理所给出的$\mathcal{O}(\log N)$是吻合的。

既然理论上看上去很完美，那么自然就有读者发问了：实验结果如何呢？8.33这个系数是最优的吗？本文就对此问题的相关内容做一个简单汇总。

词向量

首先，我们可以直接，当$N$为10万时，$8.33\log N\approx 96$，当$N$为500万时，$8.33\log N\approx 128$。这说明，至少在数量级上，该公式给出的结果是很符合我们实际所用维度的，因为在词向量时代，我们自行训练的词向量维度也就是100维左右。可能有读者会质疑，目前开源的词向量多数是300维的，像BERT的Embedding层都达到了768维，这不是明显偏离了你的结果了？

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