科学空间|Scientific Spaces

刚从天堂（镇）赶回来，这次大概一个星期的骑自行车游新兴之旅基本结束了。

这次行程我们总共穿越了太平、新城、洞口、车岗、六祖、东成、稔村、水台、勒竹、河头、天堂，共十一个镇，没有到过的地方还有共成、船岗、大江、里洞等，这些地方骑单车可能比较困难，有时间坐车去逛逛。

这次旅行可谓大有收获！各地的“到此一游”让我们增长了不少见识，加深了对我们家乡的了解；一路上大家嘻嘻哈哈，乐趣无穷，为我们的友谊增添了美好的点缀；到同学家玩玩闹闹，也加强了我们之间的联系，同样乐趣无穷；还有增加了探路找路的技术......

感谢所有陪我们一起玩、一起疯的同学，感谢所有给我们帮助的同学，人生因为你们的存在而更加精彩！

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前言

在之前的一些文章中，我们已经指出过现行教材的一些毛病。比如主次不当（最明显的是那些一上来就讲线性方程组的线性代数教程）、缺乏直观性、缺少引导性等，我想其中最主要的原因可能是过于随大流了，别人怎么编我们也跟着怎么编，缺乏自己的观点和逻辑，因此导致一些常见的毛病就一直流传了下来。也许正因如此，就导致了有那么一种奇怪的现象——明明有一种计算量少的、精确度高一些的方法，教科书几乎从未提及；另外一种计算量稍大、精确度稍低的方法，但每一本同类教科书都讲述了它。不能不说这是一个“未解之谜”......

本文要讲的就是这样的两种方法，它们分别是用来求定积分近似值的“中点矩形法则”和“梯形法则”。对于后者我想绝大多数学习过微积分的朋友都会有印象，它就是那个几乎出现在了所有微积分教材的方法；而前者我相信不少读者都未曾听闻，但让人意外的是，它的计算量稍低，精确度却稍高。本文就简单介绍这两种方法，并且比较它们的精度。而本文的独特之处在于，证明过程沿用了《复分析:可视化方法》的思路，使用几何方法漂亮地估计误差！

我们的目标是在难以精确计算的情况下，通过一定的方法求出$\int_a^b f(x)dx$的近似值，这些方法基本上都是利用了积分即面积的思想。

两种不同的方法

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转山

刚看完了电影《转山》，挺感动的，总觉得好像不写点东西就对不起这部电影了。

这还需要从上学期选公选课谈起。上学期我选择的公选课是数据库，而体育课则是太极，接近期末考的时候又重新选公选课了，我想选修一门轻松点、惬意点的课程，刚开始是选择了书法，后来看到了“自行车出行与户外旅游”，有点心动，再看上课老师，原来就是我们的太极老师，上了一学期的太极，跟他有些熟悉，也觉得他很好相处，就觉得选择这门课程了。

上一周二是这门课程是第一次课，老师讲得很精彩，而事实上，我唯一能够全程专心听课的就只有两门课程，一门就是这个公选课，另外就是马克思列宁主义（奇怪吧？确实是，马列老师讲得真的很精彩，我几乎没有分过神）。《转山》这部电影也是上公选课的时候老师推荐的，是根据同名小说改编的。大体的情节是一个台湾年轻人，只身踏上骑自行车从丽江到拉萨的旅途。影片描绘了他路上的崎岖行程，描绘了一路上的风土人情，让人颇为深刻。

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23、求解拟齐次方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$
24、求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$

把这两道题目放在一起说是因为我觉得这两道题目本质上是一样的，当然，不管怎样，24题更复杂一些。在24题中，设$\dot{x}=y$，则$\ddot{x}=y\frac{dy}{dx}$，于是原方程就变成：
$$\frac{dy}{dx}=x^2+\frac{x^5}{y}$$
这样就跟23题的形式差不多了。

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标题说了两道比较好玩的编程题，如果读者觉得标题绕的让人眩晕的话，那么让我再说得清晰一点：

两百万前素数之和指的是所有不超过两百万的素数的和；
前两百万素数之和指的是前两百万个素数的和。

我是从子谋的blog中看到这道题目的，前一道题目是Project Euler的第10题，后一道则是我跟子谋探索着玩的。关于子谋的研究和代码，大家可以去他的blog上学习。本文分享一下我自己的想法。

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在之前的欧拉数学中，我们计算过所有素数的倒数之和，得出素数的倒数之和是发散的，从而这也是一个关于素数个数为无穷的证明。在本篇文章中，我们尝试计算所有素数之积，通过一个简单的技巧，得到素数之积的一个上限（以后我们也会计算下限），从而也得到$\pi(n)$的一个上限公式。更重要的，该估计是初等地证明Bertrand假设（说的是n与2n之间定有一个素数）的重要基础之一。本文内容部分参考自《数学天书中的证明》和《解析和概率数论导引》。

素数之积

笔者已经说过，数论的神奇之处就是它总是出人意料地把数学的不同领域联系了起来。读者很快就可以看到，本文的证明和组合数学有重要联系（但仅仅是简单的联系）。关于素数之积，我们有以下结论：

不超过$n$的所有素数之积小于$4^{n-1}$。

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在高等代数的多项式一章中，通常会有这样的一道练习题：

证明任意有理数域上的多项式都能够表示为两个有理数域上的不可约多项式之和。

这是道简单的练习题，证明方法有多种。首先来介绍一个巧妙的证法。

一个巧妙证明

有理数域上的多项式问题等价于整数域上的多项式问题，因此，只需要对整数域上的多项式进行证明（这步转换使得我们可以使用艾森斯坦判别法）。设$f(x)$是整数域上的一个$n$次多项式：
$$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0$$
我们只需要注意到
$$p f(x)=\left[p f(x)+x^n+p\right]-(x^{n}+p)$$

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泰迪杯赛前培训

应广州泰迪科技公司之邀，给泰迪杯数据挖掘竞赛录制了赛前培训视频，内容基本上是各种常见的数学模型及入门用法，以一种比较独特的思路，将朴素贝叶斯、HMM、逻辑回归、组合模型、神经网络、深度学习等等串了起来。视频讲解难度为入门级，当然，真的要融合贯通所有内容，恐怕要骨灰级。

不管怎么样，简单分享一下，欢迎大家留言讨论、建议甚至批评。

PPT下载：泰迪杯赛前培训ppt.zip

视频地址：http://moodle.tipdm.com/course/view.php?id=18