数学竞赛广东预赛|组成三角形的概率
By 苏剑林 | 2011-09-12 | 53831位读者 | 引用九月三日BoJone和九个同学到云浮参加了今年广东省的数学竞赛预赛,那一起出发、玩笑、作战、吃饭的情景依然历历在目,让我久久不能忘怀。是呀,能够并肩作战的感觉真好!九日数学成绩出来了,遗憾的是今年政策改变了,我被告知整个市只有三个名额能够参加复赛,于是新兴只有我一个人进入了复赛(另外两个据说是罗定的,我们三个并列第一)。有点无语,我想,大概是要把那些为了功利而参赛的人都给刷下去吧...
今年广东的预赛题前所未有的简单,不论是和全国其他地方相比还是和上一年的题目相比,都简单了不少,但我还是做得不大理想,据我估计,120分的卷子我顶多能够拿个68分,所以BoJone的基本技能实在不容乐观。从云浮考试回来后,和同行的同学讨论试题,得出了一些很有趣的结果,那过程可谓其乐无穷呀!下面是倒数第二题预赛题的几个绝妙解法,供大家欣赏。解法由我和伍泽麒(人称“兔子、神兔”,人如其名,天资聪颖,性格可爱)完成。
题目:
在一条线段中随意选取两个点,把这条线段截成三段,求这三段线段能够组成一个三角形的概率。
[问题解答]木杆平衡
By 苏剑林 | 2012-01-21 | 51799位读者 | 引用相对论、对称和第四维
By 苏剑林 | 2012-05-01 | 72652位读者 | 引用这篇文章其实在年初就完成了。
众所周知,我们生活在一个平坦的世界中。正如我们能够感受到的那样,在这个被称为“欧几里得平直空间”的世界里,空间里两点间的最短曲线是两点间的直线段,空间里的任意直角三角形都满足勾股定理,每个物体都有着自己的长、宽、高,它们都随着时间的流逝而运动着。这种世界观把时间独立于空间之外,作为一个独特的研究对象。但是自爱因斯坦在1905年发表狭义相对论以来,我们的宇宙就被描述成为了由三维空间和一维时间组成的“四维时空”,在这里,时间和空间的地位是等价的。不少同好们也许会感到非常困惑:即使证明了时间与空间的确存在着某种联系,也不必要把时间描述成是世界的一维吧?在我们的感官里,时间明明就和空间的三维差别甚大,时间和空间怎么能够等同起来呢?其实答案很简单:为了美。把时间看成与空间等价的一维之后,整个力学体系体现出一种前所未有的对称美,这种美不仅让人赏心悦目,而且极大地方便了我们进一步处理问题。
对称
诡异的Dirac函数
By 苏剑林 | 2013-01-14 | 42985位读者 | 引用量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数,它似乎在物理的不少领域都有很大作用,它也具有明显的物理意义,但认真地看它却又感觉它根本就不是函数!这个“似而非是”的东西究竟是什么呢?让我们从一个物理问题引入:
设想一条质量为1,长度为$2l$的均匀直线,很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$;将直线的中点放置于坐标轴的原点,我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$
所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$
你见过正方形轮子的自行车吗?一般认为,只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动,但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的?只要铺好一条适当的道路,正方形车轮的自行车照样可以平稳前行!本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实,方轮自行车已经不是新鲜玩意了,它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到,它的特殊轨道是有许多段弧组成的,每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时,正方形会保持与弧形相切(确保不会打滑)。这样的路的形状是什么曲线呢?很幸运,它并不十分复杂,而且让人意外的是,它就是我们之前已经研究过的“悬链线”!原来,要设计这样的一个曲线的轨道,不需要多么高深的设计师,只需要我们手拿一条铁链,让它自由垂下......
求多边形外角和的绝妙方法!
By 苏剑林 | 2012-07-03 | 42736位读者 | 引用椭圆内的一根定长弦(化圆法)
By 苏剑林 | 2012-07-06 | 29396位读者 | 引用在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中,我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题,那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线,但把同样的问题延伸到椭圆上,却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起,不像抛物线方程那样可以容易分离开来(指的是分离成$y=f(x)$的形式)。BoJone尝试了若干种方法,还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”,终得轨迹方程。
所谓化圆法,就是将椭圆通过拉伸变成一个圆,利用圆的性质来解决一些问题。众所周知,相比椭圆,圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时,所总结出来的一种方法。有时候,把椭圆拉伸为圆后,结论就相当显然了;同时,圆作为一个特殊的椭圆,椭圆的一般结论,放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题,不妨先研究它的特例——圆问题;另一方面,利用圆的对称性等等,也可以大幅度地减少计算量,所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是,它居然在求本文的轨迹时派上用场了。
“未解之谜”:为何不讲中点矩形法则?
By 苏剑林 | 2012-07-20 | 50720位读者 | 引用前言
在之前的一些文章中,我们已经指出过现行教材的一些毛病。比如主次不当(最明显的是那些一上来就讲线性方程组的线性代数教程)、缺乏直观性、缺少引导性等,我想其中最主要的原因可能是过于随大流了,别人怎么编我们也跟着怎么编,缺乏自己的观点和逻辑,因此导致一些常见的毛病就一直流传了下来。也许正因如此,就导致了有那么一种奇怪的现象——明明有一种计算量少的、精确度高一些的方法,教科书几乎从未提及;另外一种计算量稍大、精确度稍低的方法,但每一本同类教科书都讲述了它。不能不说这是一个“未解之谜”......
本文要讲的就是这样的两种方法,它们分别是用来求定积分近似值的“中点矩形法则”和“梯形法则”。对于后者我想绝大多数学习过微积分的朋友都会有印象,它就是那个几乎出现在了所有微积分教材的方法;而前者我相信不少读者都未曾听闻,但让人意外的是,它的计算量稍低,精确度却稍高。本文就简单介绍这两种方法,并且比较它们的精度。而本文的独特之处在于,证明过程沿用了《复分析:可视化方法》的思路,使用几何方法漂亮地估计误差!
我们的目标是在难以精确计算的情况下,通过一定的方法求出$\int_a^b f(x)dx$的近似值,这些方法基本上都是利用了积分即面积的思想。
两种不同的方法
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