科学空间|Scientific Spaces

含有$n$个一阶常微分方程的一阶常微分方程组
$$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$$
其中$\boldsymbol{x}=(x_1(t),\dots,x_n(t))^{T}$为待求函数，而$\boldsymbol{A}=(a_{ij}(t))_{n\times n}$为已知的函数矩阵。现在已知该方程组的$n-1$个线性无关的特解$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{n-1}$（解的列向量），求方程的通解。

这是我的一位同学在6月5号问我的一道题目，我当时看了一下，感觉可以通过李对称的方法很容易把解构造出来，当晚就简单分析了一下，发现根据李对称的思想，由上面已知的信息确实足以把通解构造出来。但是我尝试了好几天，尝试了几何、代数等思想，都没有很好地构造出相应的正则变量出来，从而也没有写出它的显式解，于是就搁置下来了。今天再分析这道题目时，竟在无意之间构造出了让我比较满意的解来~

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牛腩过冷河

除了数学物理和中国象棋，我闲时也喜欢弄一下吃的。看到各种菜料经过自己的加工变成佳肴，也是一件美不胜收的事情；有时看到同样的菜料能够做出不同款式、不同味道的菜时，更是其乐无穷。作为广东人，我很自豪于其中一句话：“广东人吃所有东西——天上飞的，除了飞机；地上爬的，除了火车；水中游的，除了潜艇”。虽然不免有些夸张，但这句话充分显示了广东人（或者说岭南地区）饮食和烹饪的强大本领。我的厨房技术来源于我妈妈，小时候妈妈在家里做菜，由于是烧柴草生火，所以我得在灶前看好火。于是看火之时也在看妈妈做菜，久而久之，也会学会了一些做菜的方法。而现在，妈妈仍是家里的厨房好手，而我也不时进入厨房，做做自己喜欢吃的东西。谢谢我的好妈妈！

炼钢

本文叫“炼钢.vs.做菜”，这两者基本上是风牛马不相及，不过我却发现它们有一点点相似的技巧。已不记得什么时候了，在一本自然科学的书上，我曾看到过炼钢的两种技术：淬火和退火（后来发现还有正火、回火等，原理类似）。简单来说，淬火是将一块钢铁烧红，然后放进冷水中迅速冷却（也就是加热到一定温度，然后迅速冷却），如此重复，便可使得钢铁变硬，但同时也会更脆；退火则刚刚相反，它是将钢铁烧红后，让它自然冷却（有必要时，想办法降低冷却速度），如此一来，钢铁变软了，也变韧了。正火、回火均与退火类似，只是在细节上不同。通过淬火和退火的适当组合，可以生产出硬度和韧度都适当的钢铁。

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一般来说，如果原函数容易找到的话，牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分，如果积分区间含有奇点，那就不成立了。比如，我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然，从严格的数学上来说，这种写法是不成立的，因为被积函数在原点没有意义。当然，从物理的角度来考虑，由于对称性，我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的，但是却不是让人满意的，因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢？确实有的，同样引入参数，并且最终让参数为0，考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正，这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了，也就是奇点消失了，这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况，就自动得到了积分发散的结论。

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在讨论曲线坐标系的积分时，通常都会出现行列式这个东西，作为“体积元”的因子。在广义相对论中，爱因斯坦场方程的作用量就带有度规的行列式，而在对其进行变分时，自然也就涉及到了行列式的求导问题。我参考了朗道的《场论》以及《数理物理基础--物理需用线性高等数学导引》，了解到相关结果，遂记录如下。

推导

设
\begin{equation}\boldsymbol{A}(t)=\left(a_{ij}(t)\right)_{n\times n}\end{equation}
是一个n阶矩阵，其中每个矩阵元素都是t的函数。其行列式为$|\boldsymbol{A}|$，自然地，考虑
\begin{equation}\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|\end{equation}

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为了拓展整数的概念，我们需要了解关于环和域这两个代数结构，这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构，是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中，可以很方便定义和比较两个数字的大小，并且任意一个自然数的子集，都存在最小元素，这两点综合起来，我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的（这也是数学归纳法的基础）。在良序的结构中，很多性质的证明变得很简单，比如算术基本定理。然而，一般的数环、数域并没有这样的“良序”，比如任意两个复数就不能比较大小。因此，一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。

环和域

关于环（Ring）的定义，可以参考维基百科上面的“环（代数）”条目。简单来说，环指的是这样一个集合，它的元素之间可以进行加法和乘法，并满足一些必要的性质，比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环，它指的是集合是数集的情况，并且通常来说，元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$，这个数环是无限的；所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$；对于素数$p$，在模$p$之下，数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环，更特别的，它还是一个数域。

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本文很荣幸得到了高教社的王超编辑（新浪微博 @朗道集结号 ）在微信上的推荐，在此表示十分的感谢。

朗道集结号
朗道、费曼、薛定谔、泡利、狄拉克、温伯格……大师在这里等着你，微信号：ldjjhwx

费曼&朗道

但是，结合自己在阅读他们的著作的感受，以及自己学习科学的过程，谈谈我对他们的著作的看法。

什么才是最简洁的方式？

相信不少读者觉得朗道的教程比费曼的讲义要深，感觉朗道的书总有大量的数学公式，而费曼的书则轻松一些。笔者开始也有这样的感觉，但是慢慢读下去，才感到费曼的书甚至比朗道的困难。

在进入讨论之前，我们不妨先想一下：什么才是理解物理的最简洁方式？数学越复杂，就越不好吗？

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从这个系列的第一篇文章到本文，已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的，为什么这么久才更新呢？原因有二，其一是随着春天的到来人也开始懒起来了，颓废呀～；其二，我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑，发展完质点力学理论后，下一步就是发展场论，诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西，即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点，我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果，即推导出电磁场的方程后，“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法，即假定场有这种对称性，然后就可以构建出场方程了。可是，为什么场存在着规范不变性，我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看，这个不变性似乎跟广义不变性有关（电磁场也是，这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性？）。还有，似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释，可是这样的话，就离我还很远了。

好吧，我们还是先回到相对论力学的推导中。

“无”中生有

上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元，并进行了延拓。我已经说过，仅需要无穷小的变换形式，就可以构建出完成的相对论力学定律出来（当然这需要一些比较“显然”的假设）。这是个几乎从“无”到有的过程，也是本文标题的含义所在。另一方面，这种从局部到整体的可能性，也给我们带来一些启示：假如方法是普适的，那么可以由此构造出我们需要的物理定律来，包括电磁场、引力场方程等。（当然，我离这个目标还有点远。）

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在对数学或物理进行事后分析，往往会发现一些奇怪的现象，也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换，可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式

我们知道，在原点处形态良好的函数，可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现，上面的幂都是正的，为什么不能包含$x$的负数次幂呢？比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是，结合复变函数，我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

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