首先我们考虑下级数
$$S=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}(1/i)=1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)^{n+1}(1/n)$$
当$n->\infty$的敛散性。

首先由于$\lim_{n->\infty}(-1)^{n+1}(1/n)=0$，所以如果S发散，必定$S->\infty$.

我们不妨假设这个级数发散，于是

(一)
$$S=(1-1/2)+(1/3-1/4)+...+(1/{2n}-1/{2n+1})$$
由于每一个括号内都为正，所以S应该趋向$+\infty$.

(二)
$$S=1+(-1/2+1/3)+(-1/4+1/5)+...+(-1/{2n}+1/{2n+1})+1/{2n+2}$$
由于每一个括号内都为负，而且$\lim_{n->\infty}(1+1/{2n+2})=1$，所以所以S应该趋向$-\infty$.

但S不可能同时趋于$+-\infty$，所以原假设错误。S收敛。

由此可以推出一个级数的审敛法则：

定义级数$\sum_{i=1}^{n}=(-1)^{i}a_i$或$\sum_{i=1}^n=(-1)^{i+1}a_i$为交错级数。

如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}=(-1)^{i}a_i$满足：

1. $\lim_{n->\infty} a_n=0$
2. $a_i>= a_{i+1} $

则该级数收敛！证明过程同上例。

转载到请包括本文地址：https://spaces.ac.cn/archives/159

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Oct. 06, 2009). 《关于交错级数的审敛法则 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/159

@online{kexuefm-159,
        title={关于交错级数的审敛法则},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Oct},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/159}},
}