首先我们考虑下级数
S=n∑i=1(−1)i+1(1/i)=1−1/2+1/3−1/4+...+(−1)n+1(1/n)
当n−>∞的敛散性。

首先由于limn−>∞(−1)n+1(1/n)=0，所以如果S发散，必定S−>∞.

我们不妨假设这个级数发散，于是

(一)
S=(1−1/2)+(1/3−1/4)+...+(1/2n−1/2n+1)
由于每一个括号内都为正，所以S应该趋向+∞.

(二)
S=1+(−1/2+1/3)+(−1/4+1/5)+...+(−1/2n+1/2n+1)+1/2n+2
由于每一个括号内都为负，而且limn−>∞(1+1/2n+2)=1，所以所以S应该趋向−∞.

但S不可能同时趋于+−∞，所以原假设错误。S收敛。

由此可以推出一个级数的审敛法则：

定义级数∑ni=1=(−1)iai或∑ni=1=(−1)i+1ai为交错级数。

如果级数∑∞i=1=(−1)iai满足：

1. limn−>∞an=0
2. ai>=ai+1

则该级数收敛！证明过程同上例。

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苏剑林. (Oct. 06, 2009). 《关于交错级数的审敛法则 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/159

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        title={关于交错级数的审敛法则},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Oct},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/159}},
}