科学空间|Scientific Spaces

如果一直关注科学空间的朋友会发现，笔者一直对极值原理有偏爱。比如，之前曾经写过一系列《自然极值》的文章，介绍一些极值问题和变分法；在物理学中，笔者偏爱最小作用量原理的形式；在数据挖掘中，笔者也因此对基于最大熵原理的最大熵模型有浓厚的兴趣；最近，在做《量子力学与路径积分》的习题中，笔者也对第十一章所说的变分原理产生了很大的兴趣。

对于一样新东西，笔者的学习方法是以一个尽可能简单的例子搞清楚它的原理和思想，然后再逐步复杂化，这样子我就不至于迷失了。对于变分原理，它是估算路径积分的一个很强大的方法，路径积分是泛函积分，或者说，无穷维积分，那么很自然想到，对于有限维的积分估计，比如最简单的一维积分，有没有类似的估算原理呢？事实上是有的，它并不复杂，弄懂它有助于了解变分原理的核心思想。很遗憾，我并没有找到已有的资料描述这个简化版的原理，可能跟我找的资料比较少有关。

从高斯型积分出发

变分原理本质上是Jensen不等式的应用。我们从下述积分出发
$$\begin{equation}\label{jifen}I(\epsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-\epsilon x^4}dx\end{equation}$$

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在拙作《“熵”不起：从熵、最大熵原理到最大熵模型（一）》中，笔者从比较“专业”的角度引出了熵，并对熵做了诠释。当然，熵作为不确定性的度量，应该具有更通俗、更形象的来源，本文就是试图补充这一部分，并由此给出一些妙用。

熵的形象来源

我们考虑由0-9这十个数字组成的自然数，如果要求小于10000的话，那么很自然有10000个，如果我们说“某个小于10000的自然数”，那么0～9999都有可能出现，那么10000便是这件事的不确定性的一个度量。类似地，考虑$n$个不同元素（可重复使用）组成的长度为$m$的序列，那么这个序列有$n^m$种情况，这时$n^m$也是这件事情的不确定性的度量。

$n^m$是指数形式的，数字可能异常地大，因此我们取了对数，得到$m\log n$，这也可以作为不确定性的度量，它跟我们原来熵的定义是一致的。因为
$$m\log n=-\sum_{i=1}^{n^m} \frac{1}{n^m}\log \frac{1}{n^m}$$

读者可能会疑惑，$n^m$和$m\log n$都算是不确定性的度量，那么究竟是什么原因决定了我们用$m\log n$而不是用$n^m$呢？答案是可加性。取对数后的度量具有可加性，方便我们运算。当然，可加性只是便利的要求，并不是必然的。如果使用$n^m$形式，那么就相应地具有可乘性。

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最近在一个编程中，需要实现一个功能，就是给定集合，如何列出它的所有子集。有兴趣的读者不妨自己想想怎么做？

在找资料的时候，发现了一个很奇妙的方法。

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最近在算路径积分的时候，频繁地遇到了以下两种无穷级数：
$$\sum_n \frac{1}{n^2\pm\omega^2}\quad \text{和} \quad \prod_n \left(1\pm\frac{\omega^2}{n^2}\right)$$
当然，直接用Mathematica可以很干脆地算出结果来，但是我还是想知道为什么，至少大概地知道。

伯努利级数

当$\omega=0$的时候，第一个级数变为著名的伯努利级数
$$\sum_n \frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots$$
既然跟伯努利级数有关，那么很自然想到，从伯努利级数的求和入手。

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问题来源

笔者经常学习的数学研发论坛曾有一帖讨论下述非线性差分方程的渐近求解：
$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2},\, a_1=1$$
原帖子在这里，从这帖子中我获益良多，学习到了很多新技巧。主要思路是通过将两边立方，然后设$x_n=a_n^3$，变为等价的递推问题：
$$x_{n+1}=x_n+3+\frac{3}{x_n}+\frac{1}{x_n^2},\,x_1=1$$
然后可以通过巧妙的技巧得到渐近展开式：
$$x_n = 3n+\ln n+a+\frac{\frac{1}{3}(\ln n+a)-\frac{5}{18}}{n}+\dots$$
具体过程就不提了，读者可以自行到上述帖子学习。

然而，这种形式的解虽然精妙，但存在一些笔者不是很满意的地方：

1、解是渐近的级数，这就意味着实际上收敛半径为0；
2、是$n^{-k}$形式的解，对于较小的$n$难以计算，这都使得高精度计算变得比较困难；
3、当然，题目本来的目的是渐近计算，但是渐近分析似乎又没有必要展开那么多项；
4、里边带有了一个本来就比较难计算的极限值$a$；
5、求解过程似乎稍欠直观。

当然，上面这些缺点，有些是鸡蛋里挑骨头的。不过，也正是这些缺点，促使我寻找更好的形式的解，最终导致了这篇文章。

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最近由于数据挖掘上的研究，需要想办法通过电脑远程控制手机（主要是安卓），遂查找了网络上的一些工具，这里记录一下结果，纯粹做备忘。有同样需要的读者可以参考。

之前在阿里云的服务器和树莓派上都做过远程控制的，记得Linux下的远程控制工具叫做VNC，于是我google和百度了vnc server android、vnc server apk等，发现这类工具确实不少，比如最知名的当属droid vnc server。但是同类的几个软件我都测试了，它确实是VNC软件，但是在我的几个安卓4.x上，显示都不正常（花屏），无奈抛弃了。再看一下日期，发现原来这些软件基本到2013年就停止更新了，一般支持到安卓2.3而已，怪不得。

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我不是研究引力的，也没有很好地学习过引力。在理论物理方面，我学习经典力学和量子力学比学习广义相对论要多得多。因此，本来我是不应该谈引力的，以免误人子弟。不过，在一次坐车的途中，司机的刹车和加速让我联想到了一些跟引力有关的东西，自我感觉比较有趣，所以发给大家分享一下，也请大家指正。

等效原理

坐汽车

引力，准确来说应该是“万有引力”。所谓“万有”，有两个含义：1、所有物体都能够产生引力；2、所有物体都被引力影响。一个力居然是“万有”的，这让爱因斯坦感觉到非常奇怪，这也是四种基本力之中，引力跟其他力区别最明显的地方。相比之下，电磁相互作用力就只能存在于有“电”的地方，弱相互作用只存在于费米子，等等。

除了引力之外，我们平时还遇到过什么“万有”的力吗？貌似没有。但是我们想象一下，当你坐在一辆长途大巴匀速前进时，突然司机来了一个急刹车，在刹车的那一瞬间，所有人都往前倾了，不仅如此，可能你的行李箱、你的随身物品都往前移的，事实上，车上所有东西都受到了一个往前的力！对于那辆车上的人和物来说，刹车的那一瞬间，就存在着一个“万有”的力！

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斯特灵近似，或者称斯特灵公式，最开始是作为阶乘的近似提出
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
符号$\sim$意味着
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}=1$$
将斯特灵公式进一步提高精度，就得到所谓的斯特灵级数
$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}\dots\right)$$
很遗憾，这个是渐近级数。

相关资料有：
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/斯特灵公式

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

本文将会谈到斯特灵公式及其渐近级数的一个改进的推导，并解释渐近级数为什么渐近。

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