9 Jan

局部余弦相似度大,全局余弦相似度一定也大吗?

在分析模型的参数时,有些情况下我们会将模型的所有参数当成一个整体的向量,有些情况下我们则会将不同的参数拆开来看。比如,一个7B大小的LLAMA模型所拥有的70亿参数量,有时候我们会将它当成“一个70亿维的向量”,有时候我们会按照模型的实现方式将它看成“数百个不同维度的向量”,最极端的情况下,我们也会将它看成是“七十亿个1维向量”。既然有不同的看待方式,那么当我们要算一些统计指标时,也就会有不同的计算方式,即局部计算和全局计算,这引出了局部计算的指标与全局计算的指标有何关联的问题。

本文我们关心两个向量的余弦相似度。如果两个大向量的维度被拆成了若干组,同一组对应的子向量余弦相似度都很大,那么两个大向量的余弦相似度是否一定就大呢?答案是否定的。特别地,这还跟著名的“辛普森悖论”有关。

问题背景

这个问题源于笔者对优化器的参数增量导致的损失函数变化量的分析。具体来说,假设优化器的更新规则是:
\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{t+1} = \boldsymbol{\theta}_t - \eta_t \boldsymbol{u}_t\end{equation}

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24 May

重温SSM(一):线性系统和HiPPO矩阵

前几天,笔者看了几篇介绍SSM(State Space Model)的文章,才发现原来自己从未认真了解过SSM,于是打算认真去学习一下SSM的相关内容,顺便开了这个新坑,记录一下学习所得。

SSM的概念由来已久,但这里我们特指深度学习中的SSM,一般认为其开篇之作是2021年的S4,不算太老,而SSM最新最火的变体大概是去年的Mamba。当然,当我们谈到SSM时,也可能泛指一切线性RNN模型,这样RWKVRetNet还有此前我们在《Google新作试图“复活”RNN:RNN能否再次辉煌?》介绍过的LRU都可以归入此类。不少SSM变体致力于成为Transformer的竞争者,尽管笔者并不认为有完全替代的可能性,但SSM本身优雅的数学性质也值得学习一番。

尽管我们说SSM起源于S4,但在S4之前,SSM有一篇非常强大的奠基之作《HiPPO: Recurrent Memory with Optimal Polynomial Projections》(简称HiPPO),所以本文从HiPPO开始说起。

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15 Sep

低秩近似之路(一):伪逆

可能很多读者跟笔者一样,对矩阵的低秩近似有种熟悉而又陌生的感觉。熟悉是因为,低秩近似的概念和意义都不难理解,加之目前诸如LoRA等基于低秩近似的微调技术遍地开花,让低秩近似的概念在耳濡目染间就已经深入人心;然而,低秩近似所覆盖的内容非常广,在低秩近似相关的论文中时常能看到一些不熟悉但又让我们叹为观止的新技巧,这就导致了一种似懂非懂的陌生感。

因此,在这个系列文章中,笔者将试图系统梳理一下矩阵低秩近似相关的理论内容,以补全对低秩近似的了解。而在第一篇文章中,我们主要介绍低秩近似系列中相对简单的一个概念——伪逆。

优化视角

伪逆(Pseudo Inverse),也称“广义逆(Generalized Inverse)”,顾名思义就是“广义的逆矩阵”,它实际上是“逆矩阵”的概念对于不可逆矩阵的推广。

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13 Jan

混沌的世界——“星之轨迹”的研究

(本文已被刊登在2012年1月的《天文爱好者》上,于笔者而言这是一份很棒的新年礼物!)

《天爱》杂志页面.JPG

在去年第七期《天爱》上,我们看到了N体问题所呈现出来的一些对称、漂亮的周期轨道,这体现了N体问题和谐有序的一面。但是这仅仅是N体问题的冰山一角,笔者也提到过N体问题的本质是混沌、无序的,通俗来讲就是非常乱,无法用数学方程来精确描述。这看起来是一种不完美。但试想,探索当初伽利略将望远镜对准月球后,看到的是如想象中光滑的月面,那么他还会惊叹宇宙的神奇吗?

本文就让我们来更深入地了解一下N体问题的研究历史。

观测&拟合时代

由于人类的自我优越感以及日月星辰东升西落的经验,让我们长期都认为地球是宇宙的中心。第一个比较系统提出地心说的人当属天文学家欧多克斯(Eudoxus,死于公元前347年左右),但他的地心说是非常粗糙的,以至于无法解释很多基本现象,如无法准确预言日食和解释行星逆行等。但亚里士多德接受了地心说,并且由于他在政治和科学上的权威,使地心说免去了夭折的命运。后来托勒密通过他的本轮,完善了地心说,使之延续到了16世纪。

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27 Dec

费曼路径积分思想的发展(三)

3、费曼图和量子电动力学的重整化

在1947年美国避难岛(Shelter Island)会议上,兰姆报导了他的重大发现,即现今所称的兰姆位移;氢原子的$2S_{\frac{1}{2}}$能级比$2P_{\frac{1}{2}}$高出约1000MHz。而按照狄拉克理论,对纯库仑相互作用的电子-质子系统,这两个能级应该是简并的。人们很快就认识到,该位移应归之于一阶近似的辐射校正[19]。贝特用一个电子的校正质量就非相对论近似得出了氢原子nS能级的位移公:

$$\frac{8}{3\pi}(\frac{e^2}{\hbar c})Ry \frac{Z^4}{n^3} Ln\frac{K}{ < E_n-E_m > _{AV}}$$

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25 Dec

从loss的硬截断、软化到focal loss

前言

今天在QQ群里的讨论中看到了focal loss,经搜索它是Kaiming大神团队在他们的论文《Focal Loss for Dense Object Detection》提出来的损失函数,利用它改善了图像物体检测的效果。不过我很少做图像任务,不怎么关心图像方面的应用。本质上讲,focal loss就是一个解决分类问题中类别不平衡、分类难度差异的一个loss,总之这个工作一片好评就是了。大家还可以看知乎的讨论:
《如何评价kaiming的Focal Loss for Dense Object Detection?》

看到这个loss,开始感觉很神奇,感觉大有用途。因为在NLP中,也存在大量的类别不平衡的任务。最经典的就是序列标注任务中类别是严重不平衡的,比如在命名实体识别中,显然一句话里边实体是比非实体要少得多,这就是一个类别严重不平衡的情况。我尝试把它用在我的基于序列标注的问答模型中,也有微小提升。嗯,这的确是一个好loss。

接着我再仔细对比了一下,我发现这个loss跟我昨晚构思的一个loss具有异曲同工之理!这就促使我写这篇博文了。我将从我自己的思考角度出发,来分析这个问题,最后得到focal loss,也给出我昨晚得到的类似的loss。

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13 Jan

【中文分词系列】 6. 基于全卷积网络的中文分词

之前已经写过用LSTM来做分词的方案了,今天再来一篇用CNN的,准确来说是FCN,全卷积网络。其实这个模型的主要目的并非研究中文分词,而是练习tensorflow。从两年前就开始用Keras了,可以说对它比较熟了,也渐渐发现了它的一些不足,比如处理变长输入时不方便、加入自定义的约束比较困难等,所以干脆试试原生的tensorflow了,试了之后发现其实也不复杂。嗯,都是python,能有多复杂。本文就是练习一下如何用tensorflow处理不定长输入任务,以中文分词为例,并在最后加入了硬解码将深度学习与词典分词结合了起来

CNN

另外,就是关于FCN的。放到语言任务中看,(一维)卷积其实就是ngram模型,从这个角度来看其实CNN远比RNN来得自然,RNN好像就是为序列任务精心设计的,而CNN则是传统ngram模型的一个延伸。另外不管CNN和RNN都有权值共享,看上去只是为了降低运算量的一个折中选择,但事实上里边大有道理。CNN中的权值共享是平移不变性的必然结果,而不是仅仅是降低运算量的一个选择,试想一下,将一幅图像平移一点点,或者在一个句子前插入一个无意义的空格(导致后面所有字都向后平移了一位),这样应该给出一个相似甚至相同的结果,而这要求卷积必然是权值共享的,即权值不能跟位置有关系。

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27 May

【不可思议的Word2Vec】5. Tensorflow版的Word2Vec

本文封装了一个比较完整的Word2Vec,其模型部分使用tensorflow实现。本文的目的并非只是再造一次Word2Vec这个轮子,而是通过这个例子来熟悉tensorflow的写法,并且测试笔者设计的一种新的softmax loss的效果,为后面研究语言模型的工作做准备。

不同的地方

Word2Vec的基本的数学原理,请移步到《【不可思议的Word2Vec】 1.数学原理》一文查看。本文的主要模型还是CBOW或者Skip-Gram,但在loss设计上有所不同。本文还是使用了完整的softmax结构,而不是huffmax softmax或者负采样方案,但是在训练softmax时,使用了基于随机负采样的交叉熵作为loss。这种loss与已有的nce_loss和sampled_softmax_loss都不一样,这里姑且命名为random softmax loss。

另外,在softmax结构中,一般是$\text{softmax}(Wx+b)$这样的形式,考虑到$W$矩阵的形状事实上跟词向量矩阵的形状是一样的,因此本文考虑了softmax层与词向量层共享权重的模型(这时候直接让$b$为0),这种模型等效于原有的Word2Vec的负采样方案,也类似于glove词向量的词共现矩阵分解,但由于使用了交叉熵损失,理论上收敛更快,而且训练结果依然具有softmax的预测概率意义(相比之下,已有的Word2Vec负样本模型训练完之后,最后模型的输出值是没有意义的,只有词向量是有意义的。)。同时,由于共享了参数,因此词向量的更新更为充分,读者不妨多多测试这种方案。

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