12
Nov
实数域上有限维可除代数只有四种
By 苏剑林 | 2014-11-12 | 66574位读者 | 引用今天上近世代数课，老师谈到除环，举了一个非交换的除环的粒子，也就是四元数环，然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”，也就是实数本身、复数、四元数和八元数（这里的可除代数就是除环）。这句话我听起来有点熟悉，又好像不大对劲。我记得在某本书上看过，定义为实数上的超复数系，如果满足模的积性，那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性，也只有四种。我自然以为老师记错了，跟老师辩论了一翻，然后回到宿舍又找资料，最终确定：实数域上有限维可除代数真的只有四种！下面简单谈谈我对这个问题的认识。
当然，这里不可能给出这个命题的证明，因为这个证明相当不简单，笔者目前也没有弄懂，但是粗略感觉一下为什么，还是有可能的。看到这个命题，我们一下子的感觉可能是：怎么会这么少！我们这里通过例子简单说明一下，确实不会多！
我们已经对复数系很熟悉了，也就是定义在实数上的向量空间，基为$\{1,i\}$，并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$
在数学分析的级数理论中，有一类常见的题目，其中涉及到
$$\cos\theta+\cos 2\theta+\dots+\cos n\theta\tag{1}$$
和
$$\sin\theta+\sin 2\theta+\dots+\sin n\theta\tag{2}$$
之类的正弦或者余弦级数的求和，主要是证明该和式有界。而为了证明这一点，通常是把和式的通项求出来。当然，该级数在物理中也有重要作用，它表示$n$个相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中，通常是将级数乘上一项$\sin\frac{\theta}{2}$，然后利用积化和差公式完成。诚然，如果仅限在实数范围内考虑，这有可能是唯一的推导技巧的。但是这样推导的运算过程本身不简单，而且也不利于记忆，在大二的时候我就为此感到很痛苦。前几天在看费曼的书的时候，想到了一种利用复数的推导技巧。很奇怪，这个技巧是如此简单——写出来显得这篇文章都有点水了——可是我以前居然一直没留意到！看来功力尚浅，需多多修炼呀。
15
Dec
两生物种群竞争模型：LaTeX+Python
By 苏剑林 | 2014-12-15 | 59617位读者 | 引用写在前面：本文是笔者数学建模课的作业，探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质，展示了微分方程定性理论的基本思想。当然，本文最重要的目的，是展示LaTeX与Python的完美结合。（本文的图均由Python的Matplotlib模块生成；而文档则采用LaTeX编辑。）
问题提出
研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。
22
Dec
将多项式分解为两个不可约多项式之和
By 苏剑林 | 2014-12-22 | 39050位读者 | 引用在高等代数的多项式一章中，通常会有这样的一道练习题：
证明任意有理数域上的多项式都能够表示为两个有理数域上的不可约多项式之和。
这是道简单的练习题，证明方法有多种。首先来介绍一个巧妙的证法。
一个巧妙证明
有理数域上的多项式问题等价于整数域上的多项式问题，因此，只需要对整数域上的多项式进行证明（这步转换使得我们可以使用艾森斯坦判别法）。设$f(x)$是整数域上的一个$n$次多项式：
$$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0$$
我们只需要注意到
$$p f(x)=\left[p f(x)+x^n+p\right]-(x^{n}+p)$$
19
Apr
柯西命题：盯着它到显然成立为止！
By 苏剑林 | 2015-04-19 | 44333位读者 | 引用数学分析中数列极限部分，有一个很基本的“柯西命题”：
如果$\lim_{n\to\infty} x_n=a$，则
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$$
本文所要谈的便是这个命题，当然还包括类似的一些题目。
柯西命题的证明
柯西命题的证明并不难，只需要根据极限收敛的定义，由于$\lim_{n\to\infty} x_n=a$，所以任意给定$\varepsilon > 0$，存在足够大的$N$，使得对于任意的$n > N$，都有
$$\left|x_n - a\right| < \varepsilon/2\quad(\forall n > N)$$
30
May
【备忘】维基百科与DNSCrypt
By 苏剑林 | 2015-05-30 | 45623位读者 | 引用中文维基百科的域名zh.wikipedia.org于5月19日被关键字屏蔽和DNS污染，目前从中国已无法访问中文维基百科，中文维基百科的域名也无法解析出正确的IP地址，而英文维基百科目前未受影响，可以正常访问。
6
Jun
收到新版《量子力学与路径积分》
By 苏剑林 | 2015-06-06 | 41326位读者 | 引用
《量子力学与路径积分》封面
今天收到高教出版社的王超编辑寄来的费曼著作新版《量子力学与路径积分》了，兴奋ing...
《量子力学与路径积分》是费曼的一本经典著作，更是量子力学的经典著作——它是我目前读过的唯一一本从路径积分出发、并且以路径积分为第一性原理的量子力学著作(徐一鸿的《简明量子场论》好象是我读过的唯一一本纯粹以路径积分为方法的量子场论著作，也非常不错)，其它类型的量子力学著作，也有部分谈到路径积分，但无一不是从哈密顿形式中引出路径积分的，在那种情况之下，路径积分只能算是一个推论。但是路径积分明明就作为量子力学的三种形式之一，它应该是可以作为量子力学的基本原理来提出的，而不应该作为另一种形式的推论。费曼做了尝试——从路径积分出发讲解量子力学，而且显然这种尝试是很成功的，至少对于我来说，路径积分是一种非常容易理解的量子力学形式。（这也许跟我的数学基础有关）
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