科学空间|Scientific Spaces

在上一篇文章中，笔者提到似乎证明n=4时必须要证明$x^4+y^4=z^2$无解而不能只证明$x^4+y^4=z^4$无解。不过，在今天中午研究的时候，笔者发现了另外一个n=4的证明，它同样是在$\mathbb{Z}[i]$中，但是，证明的则是指数全是4的形式，但是，又不单单是$x^4+y^4=z^4$的形式，而是$\varepsilon x^4+y^4=z^4$，$\varepsilon$是单位数。这个证明过程，我觉得应该更接近n等于其他奇素数时的证明，遂补充了这篇文章，供大家参考。读者可以对比着上一篇文章进行比较阅读。

引理

用$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon$表示$\mathbb{Z}[i]$中的单位数，下面先证明

如果方程$\varepsilon_1 x'^4 +\varepsilon_2 y'^4+\varepsilon_3 z'^4=0$在$\mathbb{Z}[i]$中有全不为0的解，那么在经过适当的化简和整理之后，方程必有形式$\varepsilon x^4+y^4=z^4$，其中$(x,y,z)$是$(x',y',z')$的某个置换，$\xi^2|x$。

点击阅读全文...

本想着开始准备n=3的证明，但这需要引入Eisenstein整数的概念，而我们已经引入了高斯整数，高斯整数的美妙还没有很好地展示给读者。从n=4的两个证明可以知道，引入高斯整数的作用，是把诸如$z^n-y^n$的式子进行完全分解。然而，这一点并没有给我们展示多少高斯整数的神奇。读者或许已经知道，复分析中很多简单的结果，如果单纯用实数描述出来，便会给人巧夺天工的感觉，在涉及到高斯整数的数论中也是一样。本文就让我们来思考费马平方和定理，以此再领会在高斯整数中处理某些数论问题时的便捷。——我们从费马大定理谈起，但又并不仅仅只谈费马大定理。

费马平方和定理：奇素数$p$可以表示为两个整数的平方和，当且仅当该素数具有$4k+1$的形式，而且不考虑相加顺序的情况下，表示法是唯一的。

点击阅读全文...

最近的很多篇文章都是数论内容，属于纯数学的范畴了，对于很多只爱好物理或应用数学的读者可能会看得头晕了。今天我们来谈些不那么抽象的东西，我们来谈谈风筝，并来分析一下风筝的飞行力学。

爱情就像放风筝，线不能来得太紧，也不能拉得太松，你只会给对方飞翔的空间，他/她始终会回到你身边，因为有一条线系着双方。

放风筝（来自互联网）

风筝，在我们这个地方叫做纸鸢，相信大家童年时一定会放过。笔者小时候放风筝时，已经是小学五年级之前的事了。这个暑假突然童心一起，凭着小时候的回忆，简单做了个风筝来玩，居然真的飞起来了！兴奋之余，与大家分享一下。如今再来放风筝，真心感觉到放风筝也有很多技巧，让风筝飞，还不是件容易的事情呢，真可谓人生处处皆学问呀。上面关于风筝的比喻，正是放风筝的真实写照吧。

风筝可以说是人类摆脱地球重力的最原始尝试吧，跟发射宇宙飞船的火箭不同，风筝是借助风力来抵抗重力，严格来讲，即便是现在的飞机，也离不开这个原理（我们最后会谈到）。简单来讲，风筝就是用轻的支架撑开一个轻盈的平面，然后系上一个线圈。我们简单做一个风筝，只需要一张报纸，两条竹篾和一点透明胶，十分钟内就可以完成一个。当然，现在已经有各种各样的好看的风筝，甚至还有龙形的风筝，但是，自己动手简单做一个风筝，还是相当好玩的。

风筝自然是借助风力飞起来的，可是为什么风筝得用绳子牵着才能飞得更高、绳断了反而掉下来？风大多时，才适合放风筝？飞机又是怎么飞起来的？下面我们试着分析这些问题。

点击阅读全文...

学过集合论的朋友应该会知道，按照定义，判断两个集合的“势”相同的最直接的方法就是给出这两个集合之间的一个双射。然而，这样的双射往往不容易想到，比如

请给出一个$[0,+\infty)$到$(0,+\infty)$的双射

但是，直观地看，这两个集合的势一定是相当的，而且这两个集合之间的双射有无穷多个。然而，大多数的我们却很难想出一个双射来。当我们看到构造出来的双射时，第一反应往往是：这样的证明是怎么想到的！？比如，上述问题的答案之一是：

点击阅读全文...

Ramanujan

在正式开始数学之前，我们不妨先说一个关于印度著名数学天才——拉马努金的轶事。拉马努金病重，哈代前往探望。哈代说：“我乘出租车来，车牌号码是1729，这数真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”（即$1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3$，后来这类数称为的士数。）利特尔伍德回应这宗轶闻说：“每个整数都是拉马努金的朋友。”（来自维基百科）

从这则轶事中，我们发现，确实存在的某些整数，可以表示为两种不同的立方和，换句话说，不定方程：
$$x^3+y^3=z^3+w^3$$

点击阅读全文...

模板来自：http://liam0205.me/2013/08/25/LaTeX-xcumcmart/

源网站的某些附件出现了不可访问的情况，因此保险起见，在这里备份一下，也供同样参加数学建模的朋友下载。感谢liam0205的站长制作该模板。

原网站介绍：

点击阅读全文...

圆上的有理点

我们在这个系列的文章之中，探索了一些有关环和域的基本知识，并用整环以及唯一分解性定理证明了费马大定理在n=3和n=4时的情形。使用高斯整数环或者艾森斯坦整数环的相关知识，相对而言是属于近代的比较“高端”的代数内容（高斯生于1777年，艾森斯坦生于1823年，然而艾森斯坦英年早逝，只活到了1852年，高斯还活到了1855年。）。如果“顺利”的话，我们可以用这些“高端”的工具证明解的不存在性，或者求出通解（如果有解的话）。

然而，对于初等数论来讲，复数环和域的知识的门槛还是有点高了。其次，环和域是一个比较“强”的工具。这里的“强”有点“强势”的意味，是指这样的意思：如果它成功的话，它能够“一举破城”，把通解都求出来（或者证明解的不存在）；如果它不成功的话，那么往往就连一点非平凡的解都求不出来。可是，有些问题是求出一部分解都已经很困难了，更不用说求出通解了（我们以后在研究$x^4+y^4 = z^4 + w^4 $的整数解的时候，就能深刻体会这点。）。因此，对于这些问题，单纯用环域的思想，很难给予我们（至少一部分）解。（当然，问题是如何才算是“单纯”，这也很难界定。这里的评论是比较粗糙的。）

点击阅读全文...

首先谈点题外话，关于本系列以及本博客的写作。其实本博客的写作内容，代表了笔者在这段时间附近的研究成果。也就是说，我此时在写这篇文章，其实表明我这段时间正在研究这个问题。而接下来的研究是否有结果，有怎样的结果，则是完全不知道的。所以，我在写这篇文章的时候，并不确定下一篇文章会写些什么。有些类似的话题，我会放在同一个系列去写。但不管怎样，这些文章可能并不遵循常规的教学或者学习思路，有些内容还可能与主流的思想方法有相当出入，请读者见谅，望大家继续支持！

上一篇我们谈到了切线法来求二次和三次曲线的有理点。切线法在寻找不高于三次的曲线上的有理点是很成功的，可是对于更高次的曲线有没有类似的方法呢？换句话说，有没有推广的可能性。我们从纯代数的角度来回复一下切线法生效的原因。切线法，更一般的是割线法，能够起作用，主要是因为如果有理系数的三次方程有两个有理数的根，那么第三个根肯定是有理数。如果只有一个已知的有理根，那么就可以让两个根重合为已知的那个根，从而割线变成了切线。

点击阅读全文...