2011年全国高中数学联赛
By 苏剑林 | 2011-10-23 | 34710位读者 | 引用[欧拉数学]素数倒数之和
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 37453位读者 | 引用上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上,这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来,换句话说,“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中,数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”,继而打开数学之门!
接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前,我们得需要看一个引理:
无限数列${a_n}$的每一项都大于0,那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说,两者互为充分必要条件!
2012北约自主招生数学
By 苏剑林 | 2012-02-12 | 41380位读者 | 引用指数函数及其展开式孰大孰小?
By 苏剑林 | 2012-03-18 | 28813位读者 | 引用在x>0时,指数函数$f(x)=e^x$与幂函数$h_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$孰大孰小?
对于已经学习了微积分的朋友来说,这道题目是很简单的,甚至$f(x) > h_n (x)$可以说是“显然成立的”(因为$e^x$展开式接下来的无穷项都是正数)。但是,这道题目出在了2012年的广州一模理科数学中,就显得不那么简单了,得用初等的方法来证明它。而笔者最近养成了一个习惯,拿到一张数学试卷,不是先做选择题,而是先做最后一题。所以在参加广州一模时,先花了半个小时把最后一题(即本题)解决了。下面是我想到的三种解法。
一、数学归纳法
2012年3月28日,我19岁了。
三月是一个很美的月份,我的很多值得纪念的日子都在三月发生,还有好友们都在三月接二连三地生日,几乎让我措手不及了,呵呵。我的同桌黄金,好友家益,
还有我自己都在这个月成为十九岁的孩子了。算起来,我应该是“最年轻”的了^_^我的生日收到了许多人的祝福,这让我觉得很意外,我一直觉得,我不善于人际交往,所以不应该会有太多人关注我,但惊喜在我身上发生了。谢谢大家。
人生如梦,繁星流动,和你同路,从不相识开始心接近,默默以真挚待人......这是《朋友》的歌词,也是我们之间的真实写照。感谢上天,让我的人生之路上有你们的相伴,人生因为你们而更加精彩。愿能够与你们一起度过、奋斗过更多的日子!我们相约,我们是一辈子的朋友!
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