科学空间|Scientific Spaces

昨天在Arixv上发现了Google新发的一篇论文《Symbolic Discovery of Optimization Algorithms》，主要是讲自动搜索优化器的，咋看上去没啥意思，因为类似的工作也有不少，大多数结果都索然无味。然而，细读之下才发现别有洞天，原来作者们通过数千TPU小时的算力搜索并结合人工干预，得到了一个速度更快、显存更省的优化器Lion（EvoLved Sign Momentum，不得不吐槽这名字起得真勉强），并在图像分类、图文匹配、扩散模型、语言模型预训练和微调等诸多任务上做了充分的实验，多数任务都显示Lion比目前主流的AdamW等优化器有着更好的效果。

更省显存还更好效果，真可谓是鱼与熊掌都兼得了，什么样的优化器能有这么强悍的性能？本文一起来欣赏一下论文的成果。

先说结果

本文主要关心搜索出来的优化器本身，所以关于搜索过程的细节就不讨论了，对此有兴趣读者自行看原论文就好。Lion优化器的更新过程为
\begin{equation}\text{Lion}:=\left\{\begin{aligned}
&\boldsymbol{u}_t = \text{sign}\big(\beta_1 \boldsymbol{m}_{t-1} + \left(1 - \beta_1\right) \boldsymbol{g}_t\big) \\
&\boldsymbol{\theta}_t = \boldsymbol{\theta}_{t-1} - \eta_t (\boldsymbol{u}_t \color{skyblue}{ + \lambda_t \boldsymbol{\theta}_{t-1}}) \\
&\boldsymbol{m}_t = \beta_2 \boldsymbol{m}_{t-1} + \left(1 - \beta_2\right) \boldsymbol{g}_t
\end{aligned}\right.\end{equation}

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这篇文章分享一下笔者关于多模态模型架构的一些闭门造车的想法，或者说一些猜测。

最近Google的Gemini 1.5和OpenAI的Sora再次点燃了不少人对多模态的热情，只言片语的技术报告也引起了大家对其背后模型架构的热烈猜测。不过，本文并非是为了凑这个热闹才发出来的，事实上其中的一些思考由来已久，最近才勉强捋顺了一下，遂想写出来跟大家交流一波，刚好碰上了两者的发布。

事先声明，“闭门造车”一词并非自谦，笔者的大模型实践本就“乏善可陈”，而多模态实践更是几乎“一片空白”，本文确实只是根据以往文本生成和图像生成的一些经验所做的“主观臆测”。

问题背景

首先简化一下问题，本文所讨论的多模态，主要指图文混合的双模态，即输入和输出都可以是图文。可能有不少读者的第一感觉是：多模态模型难道不也是烧钱堆显卡，Transformer“一把梭”，最终“大力出奇迹”吗？

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在这个系列的第二篇文章《Transformer升级之路：2、博采众长的旋转式位置编码》中，笔者提出了旋转位置编码（RoPE）——通过绝对位置的形式实现相对位置编码的方案。一开始RoPE是针对一维序列如文本、音频等设计的（RoPE-1D），后来在《Transformer升级之路：4、二维位置的旋转式位置编码》中我们将它推广到了二维序列（RoPE-2D），这适用于图像的ViT。然而，不管是RoPE-1D还是RoPE-2D，它们的共同特点都是单一模态，即纯文本或者纯图像输入场景，那么对于多模态如图文混合输入场景，RoPE该做如何调整呢？

笔者搜了一下，发现鲜有工作讨论这个问题，主流的做法似乎都是直接展平所有输入，然后当作一维输入来应用RoPE-1D，因此连RoPE-2D都很少见。且不说这种做法会不会成为图像分辨率进一步提高时的效果瓶颈，它终究是显得不够优雅。所以，接下来我们试图探寻两者的一个自然结合。

旋转位置

RoPE名称中的“旋转”一词，来源于旋转矩阵$\boldsymbol{\mathcal{R}}_n=\begin{pmatrix}\cos n\theta & -\sin n\theta\\ \sin n\theta & \cos n\theta\end{pmatrix}$，它满足
\begin{equation}\boldsymbol{\mathcal{R}}_m^{\top}\boldsymbol{\mathcal{R}}_n=\boldsymbol{\mathcal{R}}_{n-m}\end{equation}

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之前承诺过会把毕业论文共享出来，让大家批评指正，却一直偷懒没动。事实上，毕业论文的主要内容就是路径积分的一些入门级别的内容，标题为《随机游走、随机微分方程与偏微分方程的路径积分方法》。我的摘要是这样写的：

本文从随机游走模型出发，得到了关于随机游走模型的一般结果；然后基于随机游走模型引入了路径积分，并且通过路径积分方法，实现了随机游走、随机微分方程与抛物型微分方程的相互转化，并给出了一些计算案例.

路径积分方法是量子理论的一种形式，但实际上它可以抽象为一个有用的数学工具，本文的主要方法正是抽象后的路径积分；其次，量子力学中有一个相当典型的抛物型偏微分方程——薛定谔方程，物理学家已经对它进行了大量的研究，有众多的成果；而随机微分方程是一个微分方程的拓展，在物理、工程、金融等很多方面都有重要应用，这个领域中也有很多研究方法；最后，随机游走是一个简单而重要的模型，它是很多扩散模型的基础，而且具有容易使用计算机模拟的特性. 因此，实现三者的转化是很有意义的.

本文有一些新的内容，比如现有文献比较少研究的不对称随机游走方面、以及现有文献比较含糊的对路径积分的介绍等，可以供同好参考，希望借此方式，能够让一些读者以更简洁明了的方式理解路径积分. 但是本文主要是陈述性的，旨在在国内推广路径积分方法. 在国外，路径积分方法得到了相当的重视，它源于量子力学，但应用已经不仅仅限于量子力学，如著作[1]，因此，推广路径积分方法、增加路径积分的中文资料，是很有意义和很有必要的事情.

本文所有推导和例子均以一维为例，相应的多维问题可以类似地计算。

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写在前面：本文是笔者数学建模课的作业，探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质，展示了微分方程定性理论的基本思想。当然，本文最重要的目的，是展示LaTeX与Python的完美结合。（本文的图均由Python的Matplotlib模块生成；而文档则采用LaTeX编辑。）

问题提出

研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。

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由于图像质量等原因，性能再好的识别模型，都会有识别错误的可能性，为了减少识别错误率，可以将识别问题跟统计语言模型结合起来，通过动态规划的方法给出最优的识别结果.这是改进OCR识别效果的重要方法之一.

转移概率

在我们分析实验结果的过程中，有出现这一案例.由于图像不清晰等可能的原因，导致“电视”一词被识别为“电柳”，仅用图像模型是不能很好地解决这个问题的，因为从图像模型来看，识别为“电柳”是最优的选择.但是语言模型却可以很巧妙地解决这个问题.原因很简单，基于大量的文本数据我们可以统计“电视”一词和“电柳”一词的概率，可以发现“电视”一词的概率远远大于“电柳”，因此我们会认为这个词是“电视”而不是“电柳”.

从概率的角度来看，就是对于第一个字的区域的识别结果$s_1$，我们前面的卷积神经网络给出了“电”、“宙”两个候选字(仅仅选了前两个，后面的概率太小)，每个候选字的概率$W(s_1)$分别为0.99996、0.00004；第二个字的区域的识别结果$s_2$，我们前面的卷积神经网络给出了“柳”、“视”、“规”(仅仅选了前三个，后面的概率太小)，每个候选字的概率$W(s_2)$分别为0.87838、0.12148、0.00012，因此，它们事实上有六种组合：“电柳”、“电视”、“电规”、“宙柳”、“宙视”、“宙规”.

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迄今为止，前四篇文章已经介绍了分词的若干思路，其中有基于最大概率的查词典方法、基于HMM或LSTM的字标注方法等。这些都是已有的研究方法了，笔者所做的就只是总结工作而已。查词典方法和字标注各有各的好处，我一直在想，能不能给出一种只需要大规模语料来训练的无监督分词模型呢？也就是说，怎么切分，应该是由语料来决定的，跟语言本身没关系。说白了，只要足够多语料，就可以告诉我们怎么分词。

看上去很完美，可是怎么做到呢？《2.基于切分的新词发现》中提供了一种思路，但是不够彻底。那里居于切分的新词发现方法确实可以看成一种无监督分词思路，它就是用一个简单的凝固度来判断某处该不该切分。但从分词的角度来看，这样的分词系统未免太过粗糙了。因此，我一直想着怎么提高这个精度，前期得到了一些有意义的结果，但都没有得到一个完整的理论。而最近正好把这个思路补全了。因为没有查找到类似的工作，所以这算是笔者在分词方面的一点原创工作了。

语言模型

首先简单谈一下语言模型。

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损失函数

现在，我们来定义loss，以便把各个词向量求解出来。用$\tilde{P}$表示$P$的频率估计值，那么我们可以直接以下式为loss
\[\sum_{w_i,w_j}\left(\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{v}_j\rangle-\log\frac{\tilde{P}(w_i,w_j)}{\tilde{P}(w_i)\tilde{P}(w_j)}\right)^2\tag{16}\]
相比之下，无论在参数量还是模型形式上，这个做法都比glove要简单，因此称之为simpler glove。glove模型是
\[\sum_{w_i,w_j}\left(\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{\hat{v}}_j\rangle+b_i+\hat{b}_j-\log X_{ij}\right)^2\tag{17}\]
在glove模型中，对中心词向量和上下文向量做了区分，然后最后模型建议输出的是两套词向量的求和，据说这效果会更好，这是一个比较勉强的trick，但也不是什么毛病。最大的问题是参数$b_i,\hat{b}_j$也是可训练的，这使得模型是严重不适定的！我们有
\[\begin{aligned}&\sum_{w_i,w_j}\left(\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{\hat{v}}_j\rangle+b_i+\hat{b}_j-\log \tilde{P}(w_i,w_j)\right)^2\\
=&\sum_{w_i,w_j}\left[\langle \boldsymbol{v}_i+\boldsymbol{c}, \boldsymbol{\hat{v}}_j+\boldsymbol{c}\rangle+\Big(b_i-\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{c}\rangle - \frac{|\boldsymbol{c}|^2}{2}\Big)\right.\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+\Big(\hat{b}_j-\langle \boldsymbol{\hat{v}}_j, \boldsymbol{c}\rangle - \frac{|\boldsymbol{c}|^2}{2}\Big)-\log X_{ij}\right]^2\end{aligned}\tag{18}\]
这就是说，如果你有了一组解，那么你将所有词向量加上任意一个常数向量后，它还是一组解！这个问题就严重了，我们无法预估得到的是哪组解，一旦加上的是一个非常大的常向量，那么各种度量都没意义了（比如任意两个词的cos值都接近1）。事实上，对glove生成的词向量进行验算就可以发现，glove生成的词向量，停用词的模长远大于一般词的模长，也就是说一堆词放在一起时，停用词的作用还明显些，这显然是不利用后续模型的优化的。（虽然从目前的关于glove的实验结果来看，是我强迫症了一些。）

互信息估算

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