科学空间|Scientific Spaces

阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \boldsymbol{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法，上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时，它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积；当$n=3$时，它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积；高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然，代数不会接受如此笼统的说法，它需要严格的证明。

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作为量子理论的一个重要定理，不确定性原理总是伴随着物理意义出现的，但是从数学的角度来讲，把不确定性原理的数学形式抽象出来，有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中，我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是，不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中，厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵；而所谓厄密矩阵，就是一个矩阵同时取共轭和转置之后，等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况，那就是n维实矩阵，n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量，即$|\boldsymbol{x}|=1$，而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中，$\boldsymbol{x}$就是波函数，但是在这里，它只不过是一个单位实向量；并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出，这些量对应着可观测量的期望值。当然，如果不懂量子力学，可以只看上面的矩阵形式。

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我们通常用一个波动方程来描述弦的振动，但是，弦的振动是二维的，也就是说，它的“波”是在垂直方向的位移。让我们来考虑一根一端固定的一维理想弹簧，胡克系数为$k$，它的松弛状态是均匀的，线密度是$\rho$，长度是$l$，质量是$m$。

如何弹？
我们要分析这根弹簧的运动，即给定弹簧的初始状态，看弹簧的密度如何变化，这种情况类似于“横波”。但是，弹簧本身是连续介质，这是我们不熟悉的，但是我们可以将它离散化，将它看成无数个小质点的弹簧链。如下图

离散的弹簧

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在上一篇文章中，我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾，提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

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进入期末了，很多同学都开始复习了，这学期我选的几门课到现在还不是很熟悉，本想也在趁着这段时间好好看看。偏生五天前我在浏览数学研发论坛的编程擂台时看到了这样的一道题目：

设对于给定的$L$，方程
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$$
满足$0 < x < y \leq L$的正整数解共有$f(L)$种情况。比如$f(6)=1,f(12)=3,f(1000)=1069$，求$f(10^{12})$。

这道题目的来源是Project Euler的第454题：Diophantine reciprocals III（丢潘图倒数方程），题目简短易懂，但又不失深度，正符合我对理想题目的定义。而且最近在学习Python学习得不亦乐乎，看到这道题目就跃跃欲试。于是乎，我的五天时间就没有了，而且过程中几乎耗尽了我现在懂的所有编程技巧。由于不断地测试运行，我的电脑发热量比平时大了几倍，真是辛苦了我的电脑。最后的代码，自我感觉已经是我目前写的最精彩的代码了。在此与大家共享和共勉~

上述表达式是分式，不利于编程，由于$n=\frac{xy}{x+y}$，于是上述题目也等价于求$(x+y)|xy$（意思是$x+y$整除$xy$）的整数解。

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在查找量子化有关资料的时候，笔者查找到了一系列名为《漫谈几何量子化》的文章，并进一步查询得知，作者为季候风，原来发表在繁星客栈（顺便提一下，繁星客栈是最早的理论物理论坛之一，现在已经不能发帖了，但是上面很多资料都弥足珍贵），据说这是除正则量子化和路径积分量子化外的第三种量子化方法。网上鲜有几何量子化的资料，更不用说是中文资料了，于是季候风前辈的这一十五篇文章便显得格外有意义了。

然而，虽然不少网站都转载了这系列文章，但是无一例外地，文章中的公式图片已经失效了，后来笔者在百度网盘那找到其中的十四篇pdf格式的（估计是网友在公式图片失效前保存下来的），笔者通过替换公式服务器的方式找回了第十五篇，把第十五篇也补充进去了。（见漫谈几何量子化（原文档）.zip）

虽然这样已经面前能够阅读了，但是总感觉美中不足，虽然笔者花了三天时间把文章重新用$\LaTeX$录入了，主要是把公式重新录入了，简单地排版了一下。现放出来与大家分享。

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牛腩过冷河

除了数学物理和中国象棋，我闲时也喜欢弄一下吃的。看到各种菜料经过自己的加工变成佳肴，也是一件美不胜收的事情；有时看到同样的菜料能够做出不同款式、不同味道的菜时，更是其乐无穷。作为广东人，我很自豪于其中一句话：“广东人吃所有东西——天上飞的，除了飞机；地上爬的，除了火车；水中游的，除了潜艇”。虽然不免有些夸张，但这句话充分显示了广东人（或者说岭南地区）饮食和烹饪的强大本领。我的厨房技术来源于我妈妈，小时候妈妈在家里做菜，由于是烧柴草生火，所以我得在灶前看好火。于是看火之时也在看妈妈做菜，久而久之，也会学会了一些做菜的方法。而现在，妈妈仍是家里的厨房好手，而我也不时进入厨房，做做自己喜欢吃的东西。谢谢我的好妈妈！

炼钢

本文叫“炼钢.vs.做菜”，这两者基本上是风牛马不相及，不过我却发现它们有一点点相似的技巧。已不记得什么时候了，在一本自然科学的书上，我曾看到过炼钢的两种技术：淬火和退火（后来发现还有正火、回火等，原理类似）。简单来说，淬火是将一块钢铁烧红，然后放进冷水中迅速冷却（也就是加热到一定温度，然后迅速冷却），如此重复，便可使得钢铁变硬，但同时也会更脆；退火则刚刚相反，它是将钢铁烧红后，让它自然冷却（有必要时，想办法降低冷却速度），如此一来，钢铁变软了，也变韧了。正火、回火均与退火类似，只是在细节上不同。通过淬火和退火的适当组合，可以生产出硬度和韧度都适当的钢铁。

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在讨论曲线坐标系的积分时，通常都会出现行列式这个东西，作为“体积元”的因子。在广义相对论中，爱因斯坦场方程的作用量就带有度规的行列式，而在对其进行变分时，自然也就涉及到了行列式的求导问题。我参考了朗道的《场论》以及《数理物理基础--物理需用线性高等数学导引》，了解到相关结果，遂记录如下。

推导

设
\begin{equation}\boldsymbol{A}(t)=\left(a_{ij}(t)\right)_{n\times n}\end{equation}
是一个n阶矩阵，其中每个矩阵元素都是t的函数。其行列式为$|\boldsymbol{A}|$，自然地，考虑
\begin{equation}\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|\end{equation}

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