科学空间|Scientific Spaces

suizhiji

笔者一直无心参加数学竞赛，主要原因是我喜欢能够持续深入地思考一个问题，而不想被竞赛的时间限制所束缚。我并不是一个机灵的人，因此很难有竞赛所需要的“灵光一现”。大概一个多星期前全国数学建模的预赛开始了，我也饶有兴致地关注了一下，并且留意到了B题这道有趣的题目——碎纸复原，然后就开始思考算法了。那时候应该是9月13日中午，我开始了一个人的数学建模，“一个人”并不是说我一个人就组成一支队了，而是我一个人自由高效地在构思算法、摸索代码，不为比赛，只为达到目的，那种兴奋一直持续到了当晚凌晨三点。

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快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时，发现他更新了一篇很有趣的文章，叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》（果然，物理系的能接触到各种各样有趣的现象），里边谈到通过施加一个运动在单摆上面，倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣，遂也计算了一番。

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在讨论了倒立单摆的相关分析之后，胡雄大哥（笔者的一位好友）提出了一个问题：一根均匀杆，当然质量不可忽略，只有一个力（简单起见，可以先假设为恒力）作用在其中一个点上（简单起见，可以假设为端点），那么杆是怎么运动的？

其实笔者学了不少的经典力学，也分析了不少问题，但就是对于力矩、角动量等还是模模糊糊的，对于我来说，大多数经典力学问题就是“作用量+变分”，本题也不例外。为了让题目的实验意义更加明确，不妨将题目改成：

一根中性的均匀杆，它的一个端点带有一个点电荷，那么它（仅仅）在一个均匀电场中的运动是怎样的？

在这里，我们进一步简化，只考虑平面问题。杆属于刚体，为了描述杆的运动，我们需要描述杆上一点的运动，以及杆绕这一点的转动，也就是说，即使只考虑平面的情况，该系统也是有三个自由度的。设杆的带电荷那一端点的坐标为$(x,y)$，为了描述杆的转动，以这一端点为中心建立极坐标系，设杆的极角为$\theta$。设电势的函数为$U(x,y)$，因为只有一点带电（受力），因此势能是简单的。

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转载理由：现在的deepin和ylmf（已经改为StartOs）都已经在制作自己的Linux，而当初它们都是制作GhostXp的大家。我的初中，即2009年以前，是GhostXP流行的时代，而我当时也加入了这一行列中，发表过一些GhostXP的作品。后来随着时代的发展，XP也就慢慢退出了舞台。我也就随之退出了这个舞台，也因此得以专注科学。但是，几乎所有我的电脑知识，都积累于那个时期，因为为了完成一个系统的制作和推广，需要懂得的电脑技术很多很多，我也得到了充分的锻炼。下面列举的一些人，都是当年GhostXP界的神话人物，有些我并不认识，但其名在当时就如雷贯耳；有些人在当时还十分幸运地加上了他们的QQ。这篇文章实际上已经是很久已经的了，但还是值得回味过去的时间，以此为我的初中时代留下一些回忆。

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原则上来讲，同样的算法，如果分别在Python和C++上实现，那么Python的速度肯定比不上C++的。但是Python还被称为“胶水语言”，它允许我们把主要计算的部分用C或C++等高效的语言编写好，然后它作为“粘合剂”把两者粘合在一起。正因为如此，Python才有了各种各样的扩展库，这些库中有不少是用C语言编写的。因此，我们在编写Python程序的时候，如果可以用这些现成的库，速度会快很多。本文就是用Numpy来改进之前的《两百万前素数之和与前两百万素数之和》的计算。

算法本身是没有变的，只是用了Numpy来处理数组计算，代码如下：

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笔者最近迷上了数据挖掘和机器学习，要做数据分析首先得有数据才行。对于我等平民来说，最廉价的获取数据的方法，应该是用爬虫在网络上爬取数据了。本文记录一下笔者爬取天猫某商品的全过程，淘宝上面的店铺也是类似的做法，不赘述。主要是分析页面以及用Python实现简单方便的抓取。

笔者使用的工具如下

Python 3——极其方便的编程语言。选择3.x的版本是因为3.x对中文处理更加友好。

Pandas——Python的一个附加库，用于数据整理。

IE 11——分析页面请求过程（其他类似的流量监控工具亦可）。

剩下的还有requests,re，这些都是Python自带的库。

实例页面（美的某热水器）：http://detail.tmall.com/item.htm?id=41464129793

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神经网络

在所有机器学习模型之中，也许最有趣、最深刻的便是神经网络模型了。笔者也想献丑一番，说一次神经网络。当然，本文并不打算从头开始介绍神经网络，只是谈谈我对神经网络的个人理解。如果希望进一步了解神经网络与深度学习的朋友，请移步阅读下面的教程：
http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/UFLDL教程

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8775360

机器分类

这里以分类工作为例，数据挖掘或机器学习中，有很多分类的问题，比如讲一句话的情况进行分类，粗略点可以分类为“积极”或“消极”，精细点分为开心、生气、忧伤等；另外一个典型的分类问题是手写数字识别，也就是将图片分为10类（0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）。因此，也产生了很多分类的模型。

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