科学空间|Scientific Spaces

前几天在台湾购买（淘宝代购）的《费曼统计力学》和《费曼计算学》在今天到手了，至此，我的费曼著作收藏基本完成了。

我是一个费曼迷，为费曼的小飞侠人格所吸引，为费曼的物理才能所折服。因此，我甚至像普通人追星那样追崇费曼，收藏他的书籍，还有学习他所发明的物理。

点击阅读全文...

我小时候一直有个疑问：

直升机上的螺旋桨能不能用来挡雨？

一般的螺旋桨是若干个“条状”物通过旋转对称而形成的，也就是说，它并非一个面，按常理来说，它是没办法用来挡雨的。但是，如果在高速旋转的情况下，甚至假设旋转速度可以任意大，那么我们任意时刻都没有办法穿过它了，这种情况下，它似乎与一个实在的面无异？

力的无穷分解

当然，以上只是笔者小时候的一个“异想天开”的念头，读者不必较真。不过，这个疑问跟本文有什么联系呢？我们在研究振动问题之时，通常会遇到在变力的作用下的受迫振动问题，已知变力是时间的函数，比如$f(t)$，然而，虽然知道$f(t)$的具体形式，但是由于$f$的非线性性，加上外力之后的运动，不一定容易求解。然而，如果可以将一个变化的力分段为无数个无穷小时间内的恒力（冲力），那么我们就可以分段讨论我们要研究的运动，而通常来说，恒力的问题会比变力容易。将一个变力离散化，然后再取极限，那么是不是跟原来在变力下的运动是一样的呢？这跟文章开头的疑问有着类似的思想——离线的极限，跟连续本身，是不是等价的？

而让人惊喜的是，在通常的物理系统中，将力分段为无数个小区间内的恒力的做法，能够导致正确的答案，而且，这恰好是线性常微分方程的格林函数法。下面我们来分析这一做法。

点击阅读全文...

写在前面：本文是笔者数学建模课的作业，探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质，展示了微分方程定性理论的基本思想。当然，本文最重要的目的，是展示LaTeX与Python的完美结合。（本文的图均由Python的Matplotlib模块生成；而文档则采用LaTeX编辑。）

问题提出

研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。

点击阅读全文...

前言：一年前国赛的时候，很初级地做了一下B题，做完之后还写了个《碎纸复原：一个人的数学建模》。当时就是对题目很有兴趣，然后通过一天的学习，基本完成了附件一二的代码，对附件三也只是有个概念。而今年我们上的数学建模课，老师把这道题作为大作业让我们做，于是我便再拾起了一年前的那份激情，继续那未完成的一个人的数学建模...

与去年不同的是，这次将所有代码用Python实现了，更简洁，更清晰，甚至可能更高效~~以下是论文全文。

研究背景

2011年10月29日，美国国防部高级研究计划局（DARPA）宣布了一场碎纸复原挑战赛（Shredder Challenge），旨在寻找到高效有效的算法，对碎纸机处理后的碎纸屑进行复原。[1]该竞赛吸引了全美9000支参赛队伍参与角逐，经过一个多月的时间，有一支队伍成功完成了官方的题目。

近年来，碎纸复原技术日益受到重视，它显示了在碎片中“还原真相”的可能性，表明我们可以从一些破碎的片段中“解密”出原始信息来。另一方面，该技术也和照片处理领域中的“全景图拼接技术”有一定联系，该技术是指通过若干张不同侧面的照片，合成一张完整的全景图。因此，分析研究碎纸复原技术，有着重要的意义。

点击阅读全文...

在高等代数的多项式一章中，通常会有这样的一道练习题：

证明任意有理数域上的多项式都能够表示为两个有理数域上的不可约多项式之和。

这是道简单的练习题，证明方法有多种。首先来介绍一个巧妙的证法。

一个巧妙证明

有理数域上的多项式问题等价于整数域上的多项式问题，因此，只需要对整数域上的多项式进行证明（这步转换使得我们可以使用艾森斯坦判别法）。设$f(x)$是整数域上的一个$n$次多项式：
$$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0$$
我们只需要注意到
$$p f(x)=\left[p f(x)+x^n+p\right]-(x^{n}+p)$$

点击阅读全文...

泊松分布，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数、汽车站台的候客人数等。^{[维基百科]}泊松分布也可以作为小概率的二项分布的近似，其推导过程在一般的概率论教材都会讲到。可是一般教材上给出的证明并不是那么让人赏心悦目，如《概率论与数理统计教程》（第二版，茆诗松等编）的第98页就给出的证明过程。那么，哪个证明过程才更让人点赞呢？我认为是利用母函数的证明。

二项分布的母函数为
$$\begin{equation}(q+px)^n,\quad q=1-p\end{equation}$$

点击阅读全文...

对于任意的素数$p$，集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下，构成一个域，这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中，根据域的定义，$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群，而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性，它还是一个循环群，这也是比较平凡的事实。但是，考虑乘法呢？

首先，$0$是没有逆元的，我们考虑乘法，是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说，$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群，这结论就不是很平凡的了！然而这确实是事实，对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实，数论中的一些结论就会相当显然了，比如当$d\mid (p-1)$时，$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了，这是循环群的基本结论。

在《数学天书中的证明》一书中，有该结论的一个证明，但这个证明是存在性的，而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明，也就是说，似乎流行的证明都是存在性的，它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群，但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上，高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。（在数论中，本文的结论是“原根”那一章的基本知识。）下面笔者正是要重复高斯的证明，供读者参考。

点击阅读全文...

前段时间在研究费曼的路径积分理论，看到路径积分的微扰方法，也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义，有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者，请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来，这种逼近的技巧实际上非常粗糙，收敛范围和速度难以得到保证。事实上，数学上发展了各种各样的摄动技巧，来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些，但是仍然是类似的形式。

点击阅读全文...