泊松分布，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数、汽车站台的候客人数等。[维基百科]泊松分布也可以作为小概率的二项分布的近似，其推导过程在一般的概率论教材都会讲到。可是一般教材上给出的证明并不是那么让人赏心悦目，如《概率论与数理统计教程》（第二版，茆诗松等编）的第98页就给出的证明过程。那么，哪个证明过程才更让人点赞呢？我认为是利用母函数的证明。

二项分布的母函数为
$$\begin{equation}(q+px)^n,\quad q=1-p\end{equation}$$

当试验次数非常大而概率很小的时候，可以考虑它的近似，此时$\lambda=pn$是一个不算大的数字，$p=\frac{\lambda}{n}$很小，也是根据概率公式
$$\begin{equation}(q+px)^n=\left(1+\frac{\lambda}{n}(x-1)\right)^n\end{equation}$$
由于
$$\begin{equation}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\end{equation}$$
当$n$相当大但不是无穷大时，上式与$e^x$相差还是很小的，于是有近似
$$\begin{equation}\left(1+\frac{\lambda}{n}(x-1)\right)^n\approx e^{\lambda x-\lambda}\end{equation}$$
这就是泊松分布的母函数。

要注意，$e^{\lambda x-\lambda}|_{x=1}=1$，这是作为概率的母函数必须服从的条件，这是非常巧的。因为我们做了一个近似，近似之前的函数，确实是一个概率的母函数，但是近似之后的函数，还恰好是另一个概率的母函数（而不用作修正），不得不说这是一个非常漂亮的巧合。

直接将其展开为级数，就得到各项的概率
$$\begin{equation}e^{\lambda x-\lambda}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k !}x^k\end{equation}$$
也就是说
$$\begin{equation}P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k !}\end{equation}$$
于是我们得到了泊松分布的概率公式。

下面给出一张刚找到的各种概率的联系图，与读者分享。

各种概率分布的联系

各种概率分布的联系

原图来自：http://www.math.wm.edu/~leemis/2008amstat.pdf

转载到请包括本文地址：https://spaces.ac.cn/archives/3188

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Jan. 13, 2015). 《当概率遇上复变：从二项分布到泊松分布 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/3188

@online{kexuefm-3188,
        title={当概率遇上复变：从二项分布到泊松分布},
        author={苏剑林},
        year={2015},
        month={Jan},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/3188}},
}