科学空间|Scientific Spaces

一直都挺奇怪为什么这些天Blog都没有人来评论，难道我的文章质量下降了？可是统计显示访问人数比以往有所增加呀。一直郁闷但却无从找到答案。

今天收到了4anpan读者的邮件，表示评论解锁功能失效了。我自己测试才发现真的如此！！原来不一定是没有人来评论，而是评论插件出了问题。经排除，是最新的公式插件（ASCIIMathMLwFallback2）与滑动解锁的评论插件（IQapTcha）有冲突。所以只好把评论插件换回旧的验证码插件了。正在构思新一步的插件方案。

万分感谢4anpan读者的反馈，希望有更多的读者来帮忙完善科学空间。这里有你更精彩！！

期待你的声音^_^

我现在是越来越佩服爱因斯坦了，他的相对论是他天才的思想的充分体现。只有当相对论提出之后，宏观物理的大多数现象和规律才得到了统一的描述。狭义相对论中爱因斯坦对我们速度叠加常识的否定已经显示了他莫大的勇气，而一项头脑风暴性的工作——广义相对论则将他惊人的创造力体现得完美无瑕。我是被量子力学的数学吸引的，于相对论则是被相对论美妙的逻辑体系吸引。当然，其中也有相当美妙的数学。

狭义相对论中的核心内容之一就是被称为洛仑兹变换的东西，这在相对论发表之前已经由洛仑兹推导出来了，只不过他不承认他的物理意义，也就没有就此进行一次物理革命，革命的任务则由爱因斯坦完成。很久前我就已经看过洛仑兹变换的推导，那是直接设一种线性关系来求解的。但是我总感觉那样的推导不够清晰（也许是我的理解方式有问题吧），而且没有说明狭义相对论的两条原理如何体现出现。所以在研究过矩阵之后，我就尝试用矩阵来推导洛仑兹变换，发现效果挺好的，而且我觉得能够体现出相对论中的对称性。

两条原理

1、狭义相对性原理：在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律，其本质是所有惯性系平权。

2、光速不变原理：所有惯性系中，真空中的光速都等于c=299 792 458 m/s，与光源运动无关。迈克耳孙-莫雷实验是其有力证明。

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小时候总是听到“光阴似箭”，却总是觉得时间过得飞快，尤其是放假的时间迟迟不来。而现在，随着年龄的增长，我却发现，想要留住时间，如同抽刀断水一般，无济于事。尤其是美好的时刻，稍瞬即逝。大学，上学、军训的情况依然清晰在目，犹如发生在昨天，而现在已经是寒假了。有时我会怀疑是不是我的记忆力增强了，却发现没有这回事。原来，真相只有一个：光阴似箭！

我不喜欢仔细地规划自己的人生，因为未来太多未知了，也许你今天发现这方面很有趣，明天又会发现另一方面很有趣，所以我只知道我尽力做好当前喜欢做的事情就行。因此，在上大学之前，我也没有对大学想太多。想象中的大学是一个静静自修的教室加上一个丰富的图书馆而已。来到华师，确实有点意外，也有点遗憾，但是，仅此而已。虽然以前努力过要奔向更优秀的大学，但是这已经成为我宝贵的经验。以后在和朋友聊天时，我又多了一个话题。这不得不说是一件很美妙的事情！

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大概在半年前，我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题，求出了轨迹方程。前几天，我收到了网名为“理想”的网友的Email，他提出了自己对这个问题的解法，并得到了形式不同的轨迹方程，因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验，我跟他的轨迹方程基本上是等价的，不过，他求出的轨迹方程总包括了原点，这是一点不足之处。但是看起来，他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外，因为从他的化简过程来看，有种“化简为繁”的味道，却得出了相当简洁的答案，着实有趣。

经过网友的同意，将他的过程贴在这里与大家分享！后面附有pdf文档，欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。

椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

作者：理想

本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$，弦长为$2r$，随着弦的两端在椭圆上滑动，弦的中点形成的轨迹为：
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆，而是一个高次曲线。

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在《自然极值》系列文章中，我引用了《数学方法论与解题研究》（张雄，李得虎编著）中提到的“平衡态公理”，并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极（小）值时取到，简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展，比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的，但在有些时候，我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极（小）值时取到”。然而，这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发，考虑保守系统，每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

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昨天晚上一位网友与我讨论以下问题：

函数$y=\sqrt{3} x-\frac{1}{x}$的图像为双曲线，在此双曲线的两支上分别取P、Q点，求PQ的最短距离。

显然，如果双曲线是普通的$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的形式，则这个问题是相当简单的。就是当y=0时两个点的距离，也就是2a。但是很明显这样的一条双曲线是经过旋转的。因此我们需要知道它究竟旋转了多少度$\theta$。然后列出$y=(\tan\theta) x$，联立双曲线方程就可以求出两个点了。

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也许中学老师会告诉5、10、20等等的十进制数字怎么化成二进制数字，但又没有老师告诉你怎么将十进制的0.1变成二进制的小数呢？

我们将一个十进制整数化为二进制是这样操作的：在十进制的计算法则中，将十进制数除以2，得到商和余数；把商除以2，得到商和余数；...重复下去，直到商为0。然后把每次得到的余数按倒序排列，就得到了二进制数字。比如6：

$$\begin{aligned}6\div 2=3...0 \\ 3\div 2=1...1 \\ 1\div 2=0...1\end{aligned}$$

倒过来就是110。这就是二进制中的6了。

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在上一篇文章中，我们以矩阵的方式推导出了洛仑兹变换。矩阵表述不仅仅具有形式上的美，还具有很重要的实用价值，比如可以很方便地寻找各种不变量。当洛仑兹变换用矩阵的方式表达出来后，很多线性代数中已知的理论都可以用在上边。在这篇小小的续集中，我们将尝试阐述这个思想。

本文中，继续设光速$c=1$。

我们已经得到了洛仑兹变换的矩阵形式：
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} x\\t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\t' \end{array}\right]\end{equation}

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