包含关键字变分自的文章 - 科学空间|Scientific Spaces

2 May

解答不等式的误区...

By 苏剑林 | 2010-05-02 | 32241位读者 | 引用

前几天做到了一道不等式题目，求2a-b的值域。其中
$$1 < a + b < 2\tag{1}$$$$-2 < a - b < -1\tag{2}$$
老师很高兴地把两式左右两边加起来，得到$-1<2a<1$；然后把第二式乘以(-1)，得到$1 < b - a < 2$，然后再与(1)相加，得到$2 < 2 b< 4 \Rightarrow 1 < b < 2$；接着把这式子乘上(-1)，然后与$-1<2a<1$相加。于是结果很显然，$-3<2a-b<0$。读者们，你们觉得这做法有问题吗？

点击阅读全文...

分类：数学研究标签：不等式阅读全文 6 评论

6 Jun

只要我们曾经拥有过——《萍聚》

By 苏剑林 | 2011-06-06 | 21287位读者 | 引用

这首歌是凤儿介绍的，去年我们学校高一夏令营的“主题歌曲”。她说歌词写得很好，我感觉也挺不错的^_^

萍，指的是漂浮在水面上的一种藻类，风吹过来，它们就会在风的作用力下聚在一起。人好象是浮在水面上的荷叶，聚散不过都是风吹动所致，到处飘散而已。因此便有了“萍水相逢”这一成语，指的是无心的邂逅或偶然的相遇。“萍聚”亦然。

曾有宋词写道“风中柳絮水中萍,聚散两无情”，这便让我们倍感人生悲欢离合的无奈。在这个充斥着高考的离别的六月里，离愁味道更浓了。可是，不论如何，明天的事情与我们无关，我们要珍惜今天事，珍惜今天人，尽我所能把握好我所拥有的。正如——

Cherish someone special for you and let them know you cherish them.

这样，当我们真的面临无可奈何的离别时，也能够含泪而微笑地挥手，唱着“只要我们曾经拥有过...”。这就是《萍聚》的声音！

点击阅读全文...

分类：生活/情感标签：歌曲, 相聚阅读全文抢沙发

19 Jun

向量结合复数：常曲率曲线(1)

By 苏剑林 | 2011-06-19 | 28486位读者 | 引用

在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数：$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？

答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况，我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)

点击阅读全文...

分类：数学研究标签：向量, 曲率, 复数阅读全文 2 评论

20 Jul

[更正]一道经典不等式的美妙证明

By 苏剑林 | 2011-07-20 | 22635位读者 | 引用

在数学竞赛中，很多题目都专门设置了一种技巧，这种技巧在很大程度上是不怎么理所当然的，换句话说，难以“顺理成章”地想下去，或者是说方法不成系统的，这也是我有点不喜欢数学竞赛题目的一个原因。当然，另一方面，个人认为数学竞赛比物理竞赛更能锻炼一个人的思维能力，尤其是在抽象思维以及几何想象能力等，因此做一些这样的题目也会有好处的。

下面就是一道很经典的竞赛题，它是在韩国举行的第42届IMO中的题目：