科学空间|Scientific Spaces

由于学校有一点事情要处理，不能抽出时间去更新天象预报。加上由于意外，导致4月份的《天文爱好者》在前几天才到，天象资讯不及时，就来不及更新了。因此，本月暂停天象预报，在此公告一下。感到非常抱歉。

文章还是尽量抽时间更新的，做一下预报，下两篇文章是关于天体力学两个很著名的问题：“双引力中心”问题和“固定引力中心+恒力”问题。即讨论在两个固定的质点的引力吸引下第三个质点的运动轨迹，以及在一个固定质点的引力和一个恒力共同作用下（在二体问题的基础上加上一个恒力）的天体的运动轨迹。这两个问题都是精确可积的，但网上和书上的资料都不是很多。

我们在研究地球附近的小天体运动时，如果把天体和地球看作一个二体系统，那最多只能算上一个零级近似，如果使用“地球+月球+小天体”组成的圆形限制性三体问题模型，那可以算上一个二级近似了。那么，一级近似又是什么了。BoJone认为，它就是本文将要讲的“双固定引力中心问题”了，也叫“双不动中心问题”，英文名是two fixed-center problem。这是一种特殊的限制性三体问题。在这个三体系统中，两个主天体（或称有限质量天体）固定不动，第三个小天体在两个固定的主天体吸引下运动。欧拉、拉格朗日、勒让德、雅可比等人很早就研究过这个问题。其中，欧拉最先成功地求出了这个系统的积分。^[引用]

另外，双固定引力中心问题还有另外一个应用，在研究人造卫星的运动时，可以只考虑地球引力，但是由于地球不是完美的球体，把其看成一个质点其实不十分精确，要是把它拆分为两个引力源，就可以很大程度上提高精确度。毕竟双固定引力中心问题是完全可以积分的，可以作为一个比较好的中间轨道（介乎圆锥曲线和精确轨道之间的）。

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看完了“双不动中心”问题，我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题，在一个固定质点的引力吸引的基础上，增加一个恒力作用，研究这样的力场中小天体的运动。

咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了，至少运动方程也显得更简单：
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$

其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是，这个问题本质上和“双不动中心”是一样的，它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似，下面我们就来分析这一个过程。

首先很容易写出这个方程的能量守恒积分：
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$

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第一本：《天遇——混沌与稳定性的起源》

一个天体力学中的N体问题的研究，竟然发展出了如此多的现代数学理论，这不能不说是一个令人意外的事情。而事实上，N体问题至今仍是无解，这也许并非坏事，因为未被完全攻克，就意味着“N体问题”仍然还是一只“会下金蛋的母鸡”！

本书是普林斯顿文集之一。作者通过大众化的语言，叙述了天体力学和动力系统理论的历史发展，让读者感到其中那激动人心的故事。BoJone认为，要想了解分析动力学（尤其是天体力学）的发展，本书是一本难得的读物。作为混沌和稳定性理论的入门前读物，本书也是非常适合的。读历史的关键是：学会思想！

豆瓣：http://book.douban.com/subject/1048552/

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打从科学空间建立起，就已经设立了“问题百科”这一个分类，但内容一直都很少，主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。

前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读，两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时，我最感兴趣的就是解方程方面的内容（根式解），通过研究理解了1到4次方程的求根公式，并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情！！

现在，稍稍阅读了《无法解出的方程》后，结合我之前在代数方程方面的一些总结，提出一个问题：

若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$

那么，是否存在大于3的n，使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$（j可以是1到n的任意整数）通过有限步骤运算出来？

这个问题可以换一个近似但不等价的说法：

若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答，那么一元(n+1)次方程能否有根式解？

也就是说，(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算？

（不考虑前提的正确与否，显然n=4已经不成立了，当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢？）

期待有人能够解决^_^

这首歌是凤儿介绍的，去年我们学校高一夏令营的“主题歌曲”。她说歌词写得很好，我感觉也挺不错的^_^

萍，指的是漂浮在水面上的一种藻类，风吹过来，它们就会在风的作用力下聚在一起。人好象是浮在水面上的荷叶，聚散不过都是风吹动所致，到处飘散而已。因此便有了“萍水相逢”这一成语，指的是无心的邂逅或偶然的相遇。“萍聚”亦然。

曾有宋词写道“风中柳絮水中萍,聚散两无情”，这便让我们倍感人生悲欢离合的无奈。在这个充斥着高考的离别的六月里，离愁味道更浓了。可是，不论如何，明天的事情与我们无关，我们要珍惜今天事，珍惜今天人，尽我所能把握好我所拥有的。正如——

Cherish someone special for you and let them know you cherish them.

这样，当我们真的面临无可奈何的离别时，也能够含泪而微笑地挥手，唱着“只要我们曾经拥有过...”。这就是《萍聚》的声音！

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在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数：$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？

答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况，我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)

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2011年的高中数学联赛拉开帷幕了...

前些天数学老师找了我们两个重点班的8个人，商量了参加今年数学联赛预赛的事情。大家都同意尝试，同时在我的强烈要求之下，增加了两位同学（一位是我的同桌，另外一位是我心目中的“天才生”）。只是老师也没有组织经验，而我上一年有过参赛经验（本来那是高三的玩意儿，我那时一个高二生瞎搅和进去，居然把高三的几个师兄师姐P下去了，意外呀...^_^），老师就把辅导其他九位同学的任务交给我（艰巨...）。

其实我也没有累积多少数学竞赛的知识，我最感兴趣的数学，几乎都不能在数学竞赛中用到。不过既然报名了，还是得准备准备，因此在网上找了最近几年的高中数学联赛试题和答案来看。顺便放到这里共享，供有需要的朋友下载。

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