寒假结束,今天上学了
By 苏剑林 | 2010-02-21 | 29188位读者 | 引用越来越佩服前人,说出了“光阴似箭,日月如梭”的真理。是呀,期末考试仿佛只是在昨天,今天已经又要上学了;俯仰之间,一个月的时间就过去了。
毫无疑问,又因为我的懒惰和不坚持,浪费了我很多的时间。回想一下寒假,我究竟收获了什么呢?主要是两个方面吧:学术和情感。
学术上,主要是数学和天文学里面的内容。数学我主要是深入了微积分方面的内容,把微积分的思想深刻了一点点,把微分方程(组)熟悉了一点点。我有一种很熟悉的感觉:现在自学高等数学,就好比我之前在小学时间学习中学数学。那时候超傻,书本上说了$\lim_{\Delta x->0} f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$,我看不懂这个式子,整天郁闷$f(x)$是不是指$f\cdot (x)$。不过尽管那时候不懂这些,还是懂应用,我用导数最基本的定义去求极值,得出了一些有趣的发现,使我的兴趣倍增。现在学习微积分也是这样的感觉,我觉得我仅仅是很显浅地接触到,还有很多等待仔细琢磨....
本文我们来探讨下列积分的极值曲线:
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$
这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答,物理含义也更加明显。比如,如果$f(x,y)$是势函数的话,那么这就是一个求势能最小的二维问题;如果$f(x,y)$是摩擦力函数,那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种,该问题都有相当的实用价值。下面将其变分:
$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$
今天升级了Blog(欢迎大家来“顶”!)
By 苏剑林 | 2009-07-27 | 64450位读者 | 引用正十七边形的尺规作图
By 苏剑林 | 2009-08-28 | 40894位读者 | 引用为何正17边形能够用尺规作出来?要如何作?先别急,请看下面的解释:
一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了。(除非我们再发现另一个费马质数。)
正17边形的尺规作法是高斯在1796年得出的,他也因此决心要成为数学家。关于费马质数,是指形如$2^{2^n}+1$的质数,一开始费马认为对于所有的n,这种形式的数都是质数。可是这似乎是上天的玩笑,目前只发现了当n=0,1,2,3,4的时候$2^{2^n}+1$是质数,其余都是合数。
【NASA每日一图】撞击目标:凯布斯月球坑
By 苏剑林 | 2009-10-08 | 18038位读者 | 引用人不能忘本|我的数学竞赛题
By 苏剑林 | 2009-11-07 | 40138位读者 | 引用星座计划“破产”,重返月球搁浅
By 苏剑林 | 2010-01-31 | 18322位读者 | 引用法新社报道说,一名不愿意透露姓名的白宫顾问说,“(重返月球的)星座计划已经死亡。”
28日,美国官员透露,布什政府于2004年通过的、计划耗资高达2300亿美元的“重返月球”计划实际上已经被美国总统奥巴马搁浅了。相反,奥巴马在未来五年将向美国国家航空航天局(NASA)拨款59亿美元,其中一部分将用于延长国际太空站的使用寿命至2020年,另外还将用于在航天飞机退役后,鼓励私人公司研制航天器来向空间站运送宇航员。随着“重返月球”计划的终结,新一代“土星”系列火箭、登月飞船、月球车等一系列相关设备的研制计划也将终止,可以在很大程度上减轻美国政府的财政压力。
最近评论