24 Jul

神秘的圆——三角形的“六接圆”(添加新方法)

数联天地论坛中的watt5151朋友提出了这样的一个问题:

三角形的“六接圆”

三角形的“六接圆”

如图,已知三角形ABC,如何做一个圆,它与三角形三边都相交,而且六个交点可以连成三条直径?

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19 Jul

太阳中心的压强和温度

太阳

太阳

为了准备IOAA,同时也加深对天体物理的理解,所以就系统地学习一下天体物理学了。今天看到“太阳”这一章,并由此简单估算了一下太阳的中心压强和温度。

天体物理学给出了关于恒星结构的一些方程。假设存在一颗各项同性的球形恒星,则有
$\frac{dm(r)}{dr}=4\pi r^2 \rho(r)$————质量方程
其中m(r)是与恒星球心距离为r的一个球形区域内的总质量,$\rho(r)$是距离球心r处的物质的密度。我们也可以写成积分的形式
$$m(r)=\int_0^R 4\pi r^2 \rho(r)dr$$
其中R是恒星半径。这个方程的意思其实就是每一个壳层的质量叠加,所以就不详细推导了。

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7 Aug

旋转的弹簧将如何伸长(2)?

弹簧

弹簧

上一次我从密度的角度讨论了旋转的弹簧伸长的问题,由于对弹性形变等问题是初涉,所以花了好大功夫。这几天重新认识了一下胡克定律,并且从另外的角度给出了这道题目的一个相对简单的解法。在此把它记录下来,并写写我对弹性形变的一些粗浅看法。

在解答的过程中,我再次体验到了殊途同归的感觉,科学就是这样的奇妙,一个目的地往往有着不止一条道路,不同的道路会给我们不同的科学视觉,最终领略到不同的科学美景;多走几条路,更能够让我们从不同的角度领略美不胜收的科学,这也是众多旅游爱好者不辞千里地观赏美景的原因!

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16 Oct

以自然数幂为系数的幂级数

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...$
最近为了数学竞赛,我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧,所以我偏爱通用的方法,哪怕过程相对麻烦。因此,我对数学归纳法(递推法)和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系,而不用具体分析,最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列${a_n}$与幂级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$一一对应,巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性,只需要知道它对应着哪一个“母函数”(母函数展开泰勒级数后得到了级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$)。显然,这两种方法的最终,都是把问题归结为代数问题。

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7 Nov

为什么是抛物线?——聚光面研究

很多读者都知道,反射望远镜、射电望远镜、太阳能集热器等都有一个抛物状的面,它们都是利用了抛物面能将平行射入的光汇聚到一个点(焦点)上的性质。如果问为什么抛物面具有此性质,相信很多高中生都可以利用抛物线的相关知识来证明。但是,如果反过来问:为什么具有此性质的曲面是抛物面?相信会难倒一部分读者。我们来尝试寻找这一曲线(由于对称的原因,这个曲面可以看作由曲线旋转而成,因此我们可以研究曲线)。

世上最大单孔径射电望远镜

世上最大单孔径射电望远镜

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19 Jan

寒假来了...

考完昨天下午的英语,就收拾东西回家,开始寒假之旅...

不论如何,假日的日子总是需要珍惜,尤其这是高中阶段最后一个长假了。

这个假期把心思放到英语常微分方程上,重点研究一些特殊性的三体问题,如周期解、共线解等。希望读者多多支持,呵呵!还有抽多点时间来与各位天文爱好者交流天文,以及更新整理一下天文奥赛网。

加油!BoJone.

26 Jan

唠叨下,关于三体问题周期轨道

自从查看到有一个8字形的周期轨道后,就对三体问题的周期轨道产生了浓厚的兴趣。而看到此文后,兴趣就倍增了。原来无法直接积分的三体问题还有这么多有趣的东西....所以寒假的一个研究目标就是三体问题的周期轨道。

先报告一下目前的探索结果:

1、有了自己的一个求周期轨道的方法;
2、貌似已经解出了8字的轨道方程,但是还未知正确与否;
3、好像发现了更多的周期轨道,也未知正确与否(这些都在验证中)

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8 Mar

沐浴问题——调控水温

载入正题之前,不妨闲扯一下BoJone的家...

BoJone在一些文章中已经提到过,我是一个来自农村的孩子,目前我的家也在农村。虽然生活并不能说“贫困”,家中也添置了不少电器,不过一直没有购置的就是洗衣机和热水器。洗衣机嘛,我觉得衣服自己动手洗是很好的,至少不让自己偷懒。至于热水器,因为家在农村,所以能够比较方便地弄到一些柴草,而且稻谷收割完后的桔梗也可以当燃料用,平时烧菜一般都用烧柴草,因此热水器实在没有多大必要。(很遗憾,沼气池没有能够在这里普及起来,大家可不要责怪我排放温室气体哦...^_^)

烧柴草的炉灶

烧柴草的炉灶

既然没有热水器,那只能人工烧水了。往往是烧好一大锅水,洗澡时盛一盆子,然后加水降温,接着就可以洗白白了。本文的问题正是来源于调水温。当水很热时,为了加快降温,我们往往“双管齐下”:一边向盆子注入冷水,一般从盆子放出热水。于是就有了一个问题:水的温度与时间成什么关系?

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