今天是3月14日,刚好是3.14,也就是很多理科生都喜欢调侃的“圆周率节”(π day)~

π能否表示为一个分数?

π能否表示为一个分数?

圆周率节 #

$\pi$能说的故事有很多,用$e^{i\pi}+1=0$这个“最美的公式”来诉说$\pi$的故事,似乎已经显得过于老套了,而且看起来也没什么技术含量。但是,我相信,“鬼才”数学家拉马努金搞出来的一堆公式,永远都不会显得过时,比如:
$$\sqrt{\phi +2}-\phi =\frac{e^{{-{\frac{2\pi }{5}}}}}{1+{\frac{e^{{-2\pi }}}{1+{\frac{e^{{-4\pi }}}{1+{\frac{e^{{-6\pi }}}{1+\,\cdots }}}}}}}=0.2840...,\quad \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

看,欧拉公式将$e,i,\pi,1,0$联系在一块有什么了不起的,我这个还把$e,\pi$和黄金分割以无穷分数的形式联系在一起了!

再比如:
$$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!}{(k!)^4}\frac{1103+26390k}{396^{4k}}$$
不就是一个$\pi$的级数吗?有什么了不起?了不起的地方在于,你只取这个级数的第一项,就可以得到$\pi=3.1415927...$,第一项就有8位有效数字了。你再稍微分析一下,就会发现这个级数收敛快得可怕...事实上,它(及其变种)是目前计算机求上亿位圆周率有效数字的基础公式。(相关内容还可以看维基百科

π的有效数字

π的有效数字

后人推导出的升级版本:
$$\frac { 1 } { \pi } = \frac { 12 } { ( 640320 ) ^ { 3 / 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 6 k ) ! ( 545140134 k + 13591409 ) } { ( 3 k ) ! ( k ! ) ^ { 3 } ( - 262537412640768000 ) ^ { k } }$$
它的理论基础是
$$e^{\pi \sqrt{163}} \approx 640320^{3} + 744$$
对了,$e^{\pi \sqrt{163}}$也被称为“拉马努金数”。

拉马努金的各种壮观的公式还有很多(《拉马努金的那些壮观的公式,都是怎么发现的?》),感觉就是“开挂”才能搞出来的。虽然很多公式未必具有什么使用价值,但不少公式远远超出了我们的想象力~这个“我们”不单单是指普通人,而且包括很多大数学家。比如哈代看到这些公式就评价:

只要看它们一眼就知道只有第一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的,因为如果不是的话,没人能有足够的想像力来发明他们。

要知道,能搞出一个新的$\pi$或$e$的公式很多时候就已经是了不起的工作,但是拉马努金的公式,通常都能把$\pi,e$等以某种非常诡异的方式糅合在级数、根号、连分式等复杂的运算之中,偏生它还是对的!所以难怪哈代会这样评价,普通人真是连想都未必敢这样想这样的公式。

再来一个?
$$\begin{aligned}R_n^{+}:=&\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\sqrt[\Large {2^{n+1}}]{x^2 + \ln^2\!\cos x}
\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}\sqrt{
\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{\ln^{2}\!\cos x}{
x^2 + \ln^2\! \cos x}}}}}\,\mathrm{d}x\\
R_n^{-}:=&\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt[\Large {2^{n+1}}]{x^2 + \ln^2\!\cos x}}
\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}\sqrt{
\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{\ln^{2}\!\cos x}{
x^2 + \ln^2\! \cos x}}}}}\,\mathrm{d}x.
\end{aligned}$$
则我们有$R_n^{+}= \sqrt[\Large {2^n}]{\ln 2}$和$R_n^{-}= \frac{1}{\sqrt[\Large {2^n}]{\ln 2}}$。如此复杂的积分有如此简单的结果,你敢想象?(《Ramanujan Log-Trigonometric Integrals》

十年博客 #

对了,还有一件事情,进入三月后,科学空间就正式迎来第十年了,这意味着我已经写了十年博客了。

博客十周年了

博客十周年了

其实我也不确切记得是哪天开始写博客了,但应该是2009年3月份开始。今天刚好是圆周率节,那就把今天当做纪念日好了~

我是从2006年开始接触互联网,前三年都热衷于搞IT论坛了(有兴趣请看这篇文章),后来风潮过去了,IT论坛也逐渐没落,还有一些别的原因,就专心回来写博客了,毕竟一个人的空间容易控制。

刚开始是以科普为主,当时火起来的一个博客是“科学松鼠会”,我也主要是受到他们的鼓舞。再慢慢地,就专心写自己的学习和研究记录。科学空间的主题也随着我的兴趣变化而变化,开始是天文,然后是数学和物理,现在多是机器学习相关的,所以才形成了目前10个分类的大杂烩~

这两年,大概也是因为写的机器学习主题多了,跟上了潮流,博客人气也多起来了。目前平均下来大概每周一篇文章左右,基本都是原创,希望用通俗的语言把某个东西的原理讲清楚。尽管文章的主题有所变动,但我依然没有忘记办博客之初的理念——“敲开科学的坚果,让科学流行起来”。愿继续与大家共勉、前行。

十年,并不算一个短的周期,在这十年中,虽然很多东西都成为了过客,也有不少网站坚持了下来。比如前面说的科学松鼠会,目前还有更新,还发展出了“果壳网”等平台;还有“数学研发论坛”,也已经存在十多年了,一直还有人气,说是目前含金量最高的数学论坛也不为过;还有其他的一些网站,一下子没想起来,就不列举了。科学空间刚好走到了第一个十年,愿与大家走过更多个十年。

十年之后,
我们是朋友 还可以问候~

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如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (2019, Mar 14). 《圆周率节快乐!|| 原来已经写了十年博客~ 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/6469