魏尔斯特拉斯定理 #

将狄拉克函数理解为函数的极限,可以衍生出很丰富的内容,而且这些内容离严格的证明并不遥远。比如,定义
δn(x)={(1x2)nIn,x[1,1]0,其它情形
其中In=11(1x2)ndx,于是不难证明
δ(x)=lim
这样,对于[a,b]上的连续函数f(x),我们就得到
f(x)=\int_{-1}^1 f(y)\delta(x-y)dy = \lim_{n\to\infty}\int_{-1}^1 f(y)\delta_n(x-y) dy
这里-1 < a < b < 1,并且我们已经“不严谨”地交换了积分号和极限号,但这不是特别重要。重要的是它的结果:可以看到
P_n(x)=\int_{-1}^1 f(y)\delta_n(x-y) dy
x的一个2n次多项式,因此上式表明f(x)是一个2n次的多项式的极限!这就引出了著名的“魏尔斯特拉斯定理”:

闭区间上的连续函数都可以用多项式一致地逼近。

追求严谨的读者会摇头:这是哪门子的证明?是的,这不是严格证明,但离严格证明还有多远呢?有兴趣看严格证明的,可以考虑看齐民友老师的《重温微积分》,就会发现,严格证明其实就是更加细致地讨论和放缩上面几个公式,而且这种讨论并不困难。因此,虽说上面是毫不严谨的引导,但却离严格证明不远。这一切,都归功于我们将\delta(x)不严谨地理解为\delta_n(x)的极限,而不是理解为一个严格的广义函数。

上述过程实则表明了一个框架,可以让我们分析函数可以用什么函数基底来逼近。构造一个函数列\{\delta_n(x)\},使它作为\delta(x)的极限并不困难,首先是归一化,然后是x=0的两边要在n\to\infty时趋于0,仅此而已。比如下面就是另外一例:
\delta_n(x)=\left\{\begin{aligned}&\frac{\cos^n x}{I_n},x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\\ &0,\text{其它情形}\end{aligned}\right.
其中I_n = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^n dx,这样也有
\delta(x)=\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)
这个极限可以带来什么结果?仿照前面对多项式讨论的过程,假设- \frac{\pi}{2} < a < b < \frac{\pi}{2},那么对于[a,b]上的连续函数f(x)我们看到
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(y)\delta_n(x-y) dy = \frac{1}{I_n} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(y)\cos^n (x-y) dy
\cos^n(x-y)展开就会发现,上式实际上就是\sin kx, \cos kx, k=0,1,\dots,n的线性组合,于是我们也可以得到:

闭区间[-\pi/2, \pi/2]上的连续函数都可以用正余弦级数\{\cos kx, \sin kx\}一致地逼近。

这也称为魏尔斯特拉斯定理。同样地,上述讨论离一个严格证明并不遥远。

是不是感觉有点不对劲?\cos x,\sin x的周期是2\pi,你这才逼近了[-\pi/2,\pi/2]这么一个\pi长度的区间,是不是有点浪费了?事实上,稍微修改上述过程,可以证明

任意\epsilon > 0,闭区间[-\pi+\epsilon, \pi/2-\epsilon]上的连续函数都可以用正余弦级数\{\cos kx, \sin kx\}一致地逼近。

但是,改为[-\pi, \pi]就不成立了,只能是依测度收敛或者L^2范数收敛,众所周知,傅里叶基础不是一致收敛的。

标准正交基 #

“正交”有助于简化问题,对于几何问题我们喜欢正交坐标系,对于函数问题我们也喜欢正交基。

前面的两个魏尔斯特拉斯定理告诉我们,闭区间上的连续函数既可以用多项式一致逼近,也可以用正余弦级数一致逼近,同时上述过程实际上也给出了求各项逼近系数的方案。但从实际计算来看,上述方式是不实用的,因为从n次逼近到n+1次逼近,要把所有的系数重新算一次(作为对比,请看泰勒级数的逼近,从nn+1只需要多算一项f^{(n+1)}(x),很经济,但泰勒级数条件要求太强。),很不划算。因此需要寻求更有效的计算方案。

我们只在一个闭区间[a,b]上讨论,对于两个函数f(x),g(x),我们定义它们的内积为
\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)dx
假设函数列\{e_k (x)\},\, k=0,1,2,\dots是一组函数基,并满足
\langle e_m, e_n\rangle=\delta_{mn}
则称为标准正交基。有了这些,我们就可以描述函数的“最优逼近”了。

假设有闭区间[a,b]上的函数f(x),并且知道f(x)可以用标准正交基\{e_k (x)\},\, k=0,1,2,\dots一致地逼近,我们来考虑有限项的和
\sum_{k=0}^n \alpha_k e_k(x)
我们要考虑用上述有限项级数来最优地逼近f(x),也就是希望是的误差最小,而误差定义为
E=\int_a^b \left(f(x)-\sum_{k=0}^n \alpha_k e_k(x)\right)^2 dx
所谓最优,就是要调整\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n,使得E取最小值。由于是有限项级数,因此可以直接对各个\alpha_k求偏导,然后解得当
\alpha_k = \int_a^b f(x)e_k (x)dx
时,E最小。因此这就求得了最优逼近。可以看到,这时候如果从n次逼近到n+1次逼近,我们只需要多算一项\alpha_{n+1} = \int_a^b f(x)e_{n+1} (x)dx即可,不用重新计算所有系数。

注意,如果\{e_k (x)\}是任意的函数列(不是基,也不一定正交),也可以做上述的优化过程,但是无法保证最后得到的结果真的是逼近原来的函数的,也就是说,可能出现的情况是:不管你怎么增大n,最后的逼近误差都不下降。而如果已经证明了\{e_k (x)\}可以一致逼近原来函数,那么就可以保证上述优化过程得到的误差是趋于0的——因为都已经是最优解了,最优解都不趋于0,那么怎么会一致收敛到原来的函数呢?

傅里叶级数 #

现在的问题是,如何得到一组标准正交基呢?根据魏尔斯特拉斯定理,我们已经知道幂函数1,x,x^2,\dots和正余弦函数1,\sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dots都可以作为一组基,我们先来关注后者。在区间[-\pi, \pi]中,可以检验1,\sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dots是正交的,即对于任意自然数m,n,有
\left\{\begin{aligned}&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx = 0\,( m\neq n)\\ &\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx = 0\,( m\neq n)\\ &\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx = 0 \end{aligned}\right.
而且有
\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 mx dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 mx dx = \pi
因此
\sqrt{\frac{1}{\pi}},\sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin x, \sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos x, \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin 2x, \sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos 2x, \dots
就是一组标准正交基。那么就有
f(x) = \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \sin nx + \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n \cos nx
其中
\begin{aligned}\gamma=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx,\\ \alpha_n=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx,\\ \beta_n=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx \end{aligned}
这就傅里叶级数了,但由于我们考虑的是[-\pi,\pi]这个区间,因此傅里叶级数只能是依测度收敛或者L^2范数收敛,而非一致收敛。而在[-\pi/2, \pi/2]区间中,1,\sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dots并非正交,需要正交化操作。

正交多项式 #

前面已经探讨了正余弦级数的逼近问题,得到的结果是傅里叶级数。那么对于魏尔斯特拉斯定理的另外一组基——幂函数基,又要怎么处理呢?正余弦函数天然的正交性使得问题可以简化不少,而幂函数并没有正交性,因此只能施行正交化操作了。

最知名的正交化操作当属格拉姆-施密特正交化(Gram-Schmidt正交化)了,在基本的线性代数教程都有描述,在此不再赘述。对基\{x^n\},\,n=0,1,2,\dots,在区间[-1,1]进行施密特正交化后的结果是:

\begin{array}{c|c} \hline n & P_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & \frac{1}{2}(3x^2-1)\\ 3 & \frac{1}{2}(5x^3-3x)\\ 4 & \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\\ \vdots & \vdots\\ \hline\end{array}
这些多项式P_n(x)称为“勒让德多项式”,它们是正交的,但还不是归一化的。将它们归一化后成为\hat{P}_n(x),然后我们就可以写出类似傅里叶级数的结果:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \hat{P}_n (x)
其中
\alpha_n = \int_{-1}^1 f(x)\hat{P}_n (x) dx

其它级数逼近 #

正余弦函数逼近也可以看成是以虚指数e^{ikx},\,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots为基的逼近,一个很自然的问题是,能不能用实指数e^{kx}逼近?

显然,根据前面的经验,这取决于我们能否用指数函数来构造出一个狄拉克函数列来。我们可以考虑双曲余弦\cosh x,它是一个偶函数,在x=0附近像开口向上的抛物线那样。如果我们考虑区间[-1, 1],那么可以考虑
\delta_n (x) = \frac{(\cosh 1 - \cosh x)^n}{I_n},\quad I_n = \int_{-1}^1 (\cosh 1 - \cosh x)^n dx
不难得到\lim_{n\to\infty} \delta_n (x) = \delta (x),于是可以考虑函数列
\frac{1}{I_n}\int_{-1}^1 f(y)[\cosh 1 - \cosh (x-y)]^n dy
可以用这个函数列来逼近f(x)。直接展开它,就知道它是\cosh kx,\sinh kx, k = 0,1,2,\dots,n的线性组合,也就是e^{kx},\,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots, \pm n的线性组合。因此,是可以用实指数来逼近的。

那就奇怪了,既然虚实指数都可以逼近,为什么只有虚指数逼近(傅里叶级数)被广泛研究呢?笔者猜测,主要原因就是它不好看、不实用吧。这些逼近都是在有限区间内的,而傅里叶级数是周期函数,研究了一个有限区间,就等价于研究了全部了;而实指数只研究一个区间,依然对整体没有帮助,何况它同时包含了e^xe^{-x},这导致它在x\to+\inftyx\to -\infty都是发散趋势,没有任何优势。

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        title={狄拉克函数:级数逼近},
        author={苏剑林},
        year={2017},
        month={Jan},
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