模型优化漫谈：BERT的初始标准差为什么是0.02？

前几天在群里大家讨论到了“Transformer如何解决梯度消失”这个问题，答案有提到残差的，也有提到LN（Layer Norm）的。这些是否都是正确答案呢？事实上这是一个非常有趣而综合的问题，它其实关联到挺多模型细节，比如“BERT为什么要warmup？”、“BERT的初始化标准差为什么是0.02？”、“BERT做MLM预测之前为什么还要多加一层Dense？”，等等。本文就来集中讨论一下这些问题。

梯度消失说的是什么意思？ #

在文章《也来谈谈RNN的梯度消失/爆炸问题》中，我们曾讨论过RNN的梯度消失问题。事实上，一般模型的梯度消失现象也是类似，它指的是（主要是在模型的初始阶段）越靠近输入的层梯度越小，趋于零甚至等于零，而我们主要用的是基于梯度的优化器，所以梯度消失意味着我们没有很好的信号去调整优化前面的层。

换句话说，前面的层也许几乎没有得到更新，一直保持随机初始化的状态；只有比较靠近输出的层才更新得比较好，但这些层的输入是前面没有更新好的层的输出，所以输入质量可能会很糟糕（因为经过了一个近乎随机的变换），因此哪怕后面的层更新好了，总体效果也不好。最终，我们会观察到很反直觉的现象：模型越深，效果越差，哪怕训练集都如此。

解决梯度消失的一个标准方法就是残差链接，正式提出于ResNet中。残差的思想非常简单直接：你不是担心输入的梯度会消失吗？那我直接给它补上一个梯度为常数的项不就行了？最简单地，将模型变成
\begin{equation}y = x + F(x)\end{equation}
这样一来，由于多了一条“直通”路$x$，就算$F(x)$中的$x$梯度消失了，$x$的梯度基本上也能得以保留，从而使得深层模型得到有效的训练。

LN真的能缓解梯度消失？ #

然而，在BERT和最初的Transformer里边，使用的是Post Norm设计，它把Norm操作加在了残差之后：
\begin{equation}x_{t+1} = \text{Norm}(x_t + F_t(x_t))\end{equation}
其实具体的Norm方法不大重要，不管是Batch Norm还是Layer Norm，结论都类似。在文章《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》中，我们已经分析过这种Norm结构，这里再来重复一下。

在初始化阶段，由于所有参数都是随机初始化的，所以我们可以认为$x$与$F(x)$是两个相互独立的随机向量，如果假设它们各自的方差是1，那么$x+F(x)$的方差就是2，而$\text{Norm}$操作负责将方差重新变为1，那么在初始化阶段，$\text{Norm}$操作就相当于“除以$\sqrt{2}$”：
\begin{equation}x_{t+1} = \frac{x_t + F_t(x_t)}{\sqrt{2}}\end{equation}
递归下去就是
\begin{equation}\begin{aligned}
x_l =&\, \frac{x_{l-1}}{\sqrt{2}} + \frac{F_{l-1}(x_{l-1})}{\sqrt{2}} \\
=&\, \frac{x_{l-2}}{2} + \frac{F_{l-2}(x_{l-2})}{2} + \frac{F_{l-1}(x_{l-1})}{\sqrt{2}} \\
=&\, \cdots \\
=&\,\frac{x_0}{2^{l/2}} + \frac{F_0(x_0)}{2^{l/2}} + \frac{F_1(x_1)}{2^{(l-1)/2}} + \frac{F_2(x_2)}{2^{(l-2)/2}} + \cdots + \frac{F_{l-1}(x_{l-1})}{2^{1/2}}
\end{aligned}\end{equation}
我们知道，残差有利于解决梯度消失，但是在Post Norm中，残差这条通道被严重削弱了，越靠近输入，削弱得越严重，残差“名存实亡”。所以说，在Post Norm的BERT模型中，LN不仅不能缓解梯度消失，它还是梯度消失的“元凶”之一。

那我们为什么还要加LN？ #

那么，问题自然就来了：既然LN还加剧了梯度消失，那直接去掉它不好吗？

是可以去掉，但是前面说了，$x+F(x)$的方差就是2了，残差越多方差就越大了，所以还是要加一个Norm操作，我们可以把它加到每个模块的输入，即变为$x+F(\text{Norm}(x))$，最后的总输出再加个$\text{Norm}$就行，这就是Pre Norm结构，这时候每个残差分支是平权的，而不是像Post Norm那样有指数衰减趋势。当然，也有完全不加Norm的，但需要对$F(x)$进行特殊的初始化，让它初始输出更接近于0，比如ReZero、Skip Init、Fixup等，这些在《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》也都已经介绍过了。

但是，抛开这些改进不说，Post Norm就没有可取之处吗？难道Transformer和BERT开始就带了一个完全失败的设计？

显然不大可能。虽然Post Norm会带来一定的梯度消失问题，但其实它也有其他方面的好处。最明显的是，它稳定了前向传播的数值，并且保持了每个模块的一致性。比如BERT base，我们可以在最后一层接一个Dense来分类，也可以取第6层接一个Dense来分类；但如果你是Pre Norm的话，取出中间层之后，你需要自己接一个LN然后再接Dense，否则越靠后的层方差越大，不利于优化。

其次，梯度消失也不全是“坏处”，其实对于Finetune阶段来说，它反而是好处。在Finetune的时候，我们通常希望优先调整靠近输出层的参数，不要过度调整靠近输入层的参数，以免严重破坏预训练效果。而梯度消失意味着越靠近输入层，其结果对最终输出的影响越弱，这正好是Finetune时所希望的。所以，预训练好的Post Norm模型，往往比Pre Norm模型有更好的Finetune效果，这我们在《RealFormer：把残差转移到Attention矩阵上面去》也提到过。

我们真的担心梯度消失吗？ #

其实，最关键的原因是，在当前的各种自适应优化技术下，我们已经不大担心梯度消失问题了。

这是因为，当前NLP中主流的优化器是Adam及其变种。对于Adam来说，由于包含了动量和二阶矩校正，所以近似来看，它的更新量大致上为
\begin{equation}\Delta \theta = -\eta\frac{\mathbb{E}_t[g_t]}{\sqrt{\mathbb{E}_t[g_t^2]}}\end{equation}
可以看到，分子分母是都是同量纲的，因此分式结果其实就是$\mathscr{O}(1)$的量级，而更新量就是$\mathscr{O}(\eta)$量级。也就是说，理论上只要梯度的绝对值大于随机误差，那么对应的参数都会有常数量级的更新量；这跟SGD不一样，SGD的更新量是正比于梯度的，只要梯度小，更新量也会很小，如果梯度过小，那么参数几乎会没被更新。

所以，Post Norm的残差虽然被严重削弱，但是在base、large级别的模型中，它还不至于削弱到小于随机误差的地步，因此配合Adam等优化器，它还是可以得到有效更新的，也就有可能成功训练了。当然，只是有可能，事实上越深的Post Norm模型确实越难训练，比如要仔细调节学习率和Warmup等。

Warmup是怎样起作用的？ #

大家可能已经听说过，Warmup是Transformer训练的关键步骤，没有它可能不收敛，或者收敛到比较糟糕的位置。为什么会这样呢？不是说有了Adam就不怕梯度消失了吗？

要注意的是，Adam解决的是梯度消失带来的参数更新量过小问题，也就是说，不管梯度消失与否，更新量都不会过小。但对于Post Norm结构的模型来说，梯度消失依然存在，只不过它的意义变了。根据泰勒展开式：
\begin{equation}f(x+\Delta x) \approx f(x) + \langle\nabla_x f(x), \Delta x\rangle\end{equation}
也就是说增量$f(x+\Delta x) - f(x)$是正比于梯度的，换句话说，梯度衡量了输出对输入的依赖程度。如果梯度消失，那么意味着模型的输出对输入的依赖变弱了。

Warmup是在训练开始阶段，将学习率从0缓增到指定大小，而不是一开始从指定大小训练。如果不进行Wamrup，那么模型一开始就快速地学习，由于梯度消失，模型对越靠后的层越敏感，也就是越靠后的层学习得越快，然后后面的层是以前面的层的输出为输入的，前面的层根本就没学好，所以后面的层虽然学得快，但却是建立在糟糕的输入基础上的。

很快地，后面的层以糟糕的输入为基础到达了一个糟糕的局部最优点，此时它的学习开始放缓（因为已经到达了它认为的最优点附近），同时反向传播给前面层的梯度信号进一步变弱，这就导致了前面的层的梯度变得不准。但我们说过，Adam的更新量是常数量级的，梯度不准，但更新量依然是数量级，意味着可能就是一个常数量级的随机噪声了，于是学习方向开始不合理，前面的输出开始崩盘，导致后面的层也一并崩盘。

所以，如果Post Norm结构的模型不进行Wamrup，我们能观察到的现象往往是：loss快速收敛到一个常数附近，然后再训练一段时间，loss开始发散，直至NAN。如果进行Wamrup，那么留给模型足够多的时间进行“预热”，在这个过程中，主要是抑制了后面的层的学习速度，并且给了前面的层更多的优化时间，以促进每个层的同步优化。

这里的讨论前提是梯度消失，如果是Pre Norm之类的结果，没有明显的梯度消失现象，那么不加Warmup往往也可以成功训练。

初始标准差为什么是0.02？ #

喜欢扣细节的同学会留意到，BERT默认的初始化方法是标准差为0.02的截断正态分布，在《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》我们也提过，由于是截断正态分布，所以实际标准差会更小，大约是$0.02/1.1368472\approx 0.0176$。这个标准差是大还是小呢？对于Xavier初始化来说，一个$n\times n$的矩阵应该用$1/n$的方差初始化，而BERT base的$n$为768，算出来的标准差是$1/\sqrt{768}\approx 0.0361$。这就意味着，这个初始化标准差是明显偏小的，大约只有常见初始化标准差的一半。

为什么BERT要用偏小的标准差初始化呢？事实上，这还是跟Post Norm设计有关，偏小的标准差会导致函数的输出整体偏小，从而使得Post Norm设计在初始化阶段更接近于恒等函数，从而更利于优化。具体来说，按照前面的假设，如果$x$的方差是1，$F(x)$的方差是$\sigma^2$，那么初始化阶段，$\text{Norm}$操作就相当于除以$\sqrt{1+\sigma^2}$。如果$\sigma$比较小，那么残差中的“直路”权重就越接近于1，那么模型初始阶段就越接近一个恒等函数，就越不容易梯度消失。

正所谓“我们不怕梯度消失，但我们也不希望梯度消失”，简单地将初始化标注差设小一点，就可以使得$\sigma$变小一点，从而在保持Post Norm的同时缓解一下梯度消失，何乐而不为？那能不能设置得更小甚至全零？一般来说初始化过小会丧失多样性，缩小了模型的试错空间，也会带来负面效果。综合来看，缩小到标准的1/2，是一个比较靠谱的选择了。

当然，也确实有人喜欢挑战极限的，最近笔者也看到了一篇文章，试图让整个模型用几乎全零的初始化，还训练出了不错的效果，大家有兴趣可以读读，文章为《ZerO Initialization: Initializing Residual Networks with only Zeros and Ones》。

为什么MLM要多加Dense？ #

最后，是关于BERT的MLM模型的一个细节，就是BERT在做MLM的概率预测之前，还要多接一个Dense层和LN层，这是为什么呢？不接不行吗？

之前看到过的答案大致上是觉得，越靠近输出层的，越是依赖任务的（Task-Specified），我们多接一个Dense层，希望这个Dense层是MLM-Specified的，然后下游任务微调的时候就不是MLM-Specified的，所以把它去掉。这个解释看上去有点合理，但总感觉有点玄学，毕竟Task-Specified这种东西不大好定量分析。

这里笔者给出另外一个更具体的解释，事实上它还是跟BERT用了0.02的标准差初始化直接相关。刚才我们说了，这个初始化是偏小的，如果我们不额外加Dense就乘上Embedding预测概率分布，那么得到的分布就过于均匀了（Softmax之前，每个logit都接近于0），于是模型就想着要把数值放大。现在模型有两个选择：第一，放大Embedding层的数值，但是Embedding层的更新是稀疏的，一个个放大太麻烦；第二，就是放大输入，我们知道BERT编码器最后一层是LN，LN最后有个初始化为1的gamma参数，直接将那个参数放大就好。

模型优化使用的是梯度下降，我们知道它会选择最快的路径，显然是第二个选择更快，所以模型会优先走第二条路。这就导致了一个现象：最后一个LN层的gamma值会偏大。如果预测MLM概率分布之前不加一个Dense+LN，那么BERT编码器的最后一层的LN的gamma值会偏大，导致最后一层的方差会比其他层的明显大，显然不够优雅；而多加了一个Dense+LN后，偏大的gamma就转移到了新增的LN上去了，而编码器的每一层则保持了一致性。

事实上，读者可以自己去观察一下BERT每个LN层的gamma值，就会发现确实是最后一个LN层的gamma值是会明显偏大的，这就验证了我们的猜测～

希望大家多多海涵批评斧正 #

本文试图回答了Transformer、BERT的模型优化相关的几个问题，有一些是笔者在自己的预训练工作中发现的结果，有一些则是结合自己的经验所做的直观想象。不管怎样，算是分享一个参考答案吧，如果有不当的地方，请大家海涵，也请各位批评斧正～

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