今天在数学研发论坛看到了一道题目：

j=n∑j=0(jxj)=nxn+2−(n+1)xn+1+x/(x−1)2

这道题实际是求x+2x2+3x3+...+nxn的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的（数学归纳法对于证明简单，对于推导就不行了），但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

我们把它改写成：

x(1+2x+3x2+...+nxn−1)⇒x[1+x+x2+...+xn−1+x(1+x+x2+...+xn−2)+...+xn−1]⇒x[xn−1+x(xn−1−1)+x2(xn−2−1)+...+xn−1(x−1)/x−1]⇒x[nxn−(1+x+x2+...+xn−1)/x−1]⇒x[nxn−xn−1/x−1/x−1]
$\Rightarrow x[{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}/{(x-1)^2}]

剩下来的就不写了。不用说了吧？

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苏剑林. (Aug. 02, 2009). 《一道级数求和证明题(非数学归纳法) 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/49

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        title={一道级数求和证明题(非数学归纳法)},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Aug},
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