“鸡兔同笼”的那些年

“鸡兔同笼”的那些年

“盈亏问题”、“年龄问题”、“植树问题”、“牛吃草问题”、“利润问题”...,小学阶段你是否曾被各种花样的数学应用题折磨过呢?没关系,现在机器学习模型也可以帮助我们去解答应用题了,来看看它可以上几年级了?

本文将给出一个求解小学数学应用题(Math Word Problem)的baseline,基于ape210k数据集训练,直接用Seq2Seq模型生成可执行的数学表达式,最终Large版本的模型能达到75%的准确率,明显高于ape210k论文所报告的结果。所谓“硬刚”,指的是没有对表达式做特别的转换,也没有通过模板处理,就直接生成跟人类做法相近的可读表达式。

数据处理 #

这里我们先观察一下ape210k数据集的情况:

{
    "id": "254761",
    "segmented_text": "小 王 要 将 150 千 克 含 药 量 20% 的 农 药 稀 释 成 含 药 量 5% 的 药 水 . 需 要 加 水 多 少 千 克 ?",
    "original_text": "小王要将150千克含药量20%的农药稀释成含药量5%的药水.需要加水多少千克?",
    "ans": "450",
    "equation": "x=150*20%/5%-150"
}

{
    "id": "325488",
    "segmented_text": "一 个 圆 形 花 坛 的 半 径 是 4 米 , 现 在 要 扩 建 花 坛 , 将 半 径 增 加 1 米 , 这 时 花 坛 的 占 地 面 积 增 加 了 多 少 米 * * 2 .",
    "original_text": "一个圆形花坛的半径是4米,现在要扩建花坛,将半径增加1米,这时花坛的占地面积增加了多少米**2.",
    "ans": "28.26",
    "equation": "x=(3.14*(4+1)**2)-(3.14*4**2)"
}

可以看到,我们主要关心的是original_textequationans字段,其中original_text就是题目,equation则是运算过程(一般以x=开头),而ans是最终答案。我们希望训练一个模型,由original_text来生成equation,然后经由python的eval函数直接得到ans

不过,我们需要做一些前处理,因为ape210k给出的equation并不是都可以直接eval的,像上面的例子150*20%/5%-150对python来说就是一个非法表达式。笔者所做的处理如下:

1、对于a%这样的百分数,统一替换为(a/100)

2、对于a(b/c)这样的带分数,统一替换为(a+b/c)

3、对于(a/b)这样的真分数,在题目中去掉括号变为a/b

4、对于比例的冒号:,统一替换为/

经过这样处理后,大部分equation都可以直接eval了,并且可以与ans进行答案对比,只保留结果一致的题目。不过,还有一点改进的地方,就是这样得到的表达式可能会带有一些冗余的括号(也就是去掉括号后与原来的等价),因此还要加上一步去括号,即遍历每一组括号,如果去掉该组括号结果与原来的等价,那么就去掉该组括号,这样可以得到平均长度更短的表达式,而长度越短越容易生成。

最终,我们得到了如下可用的数据集:
\begin{array}{c|ccc}
\hline
& \text{训练集} & \text{验证集} & \text{测试集} \\
\hline
\text{原有数目} & 200488 & 5000 & 5000\\
\hline
\text{保留数目} & 200390 & 4999 & 4998\\
\hline
\end{array}
剩下的基本上是一些错题、乱题了,暂时忽略。

模型简介 #

模型其实是最没什么好讲的,就是以original_text为输入、equation为输出,以“BERT+UniLM”为基础架构,训练一个Seq2Seq模型。如果对模型还有什么疑惑的地方,请阅读《从语言模型到Seq2Seq:Transformer如戏,全靠Mask》

项目链接:http://github.com/bojone/ape210k_baseline

笔者的训练是用22G的单卡TITAN RTX跑的,优化器是Adam,学习率是2e-5。Base版本的用了batch_size=32,大概需要训练25个epoch,每个epoch约50分钟(算上验证集的评测时间);而large版本则是batch_size=16,大概需要训练15个epoch,每个epoch约2小时(算上验证集的评测时间)。

对了,说到Large,由于UniLM借用了MLM部分权重,所以我们不能用哈工大开源的RoBERTa-wwm-ext-large,因为这个版本的MLM权重是随机初始化的(但它的Base版本是正常的,可以用)。Large版本推荐用腾讯UER开源的权重,原本是PyTorch版的,笔者将它转换为TF版了,在这里(提取码l0k6)可以下载。

效果如下表:
\begin{array}{c|ccc}
\hline
& \text{beam_size} & \text{验证集} & 测试集 \\
\hline
\text{Base} & 1 & 71.67\% & 71.65\%\\
\text{Base} & 2 & 71.81\% & 72.27\%\\
\text{Base} & 3 & \textbf{71.85}\% & \textbf{72.35}\%\\
\hline
\text{Large} & 1 & 74.51\% & 74.43\%\\
\text{Large} & 2 & 74.97\% & 74.99\%\\
\text{Large} & 3 & \textbf{75.04}\% & \textbf{75.01}\%\\
\hline
\end{array}

Large模型的结果已经比ape210k的论文《Ape210K: A Large-Scale and Template-Rich Dataset of
Math Word Problems》
所报告的70.20%要明显高了,因此说明我们这里的模型是一个不算太差的baseline。感觉如果用一些Seq2Seq的技巧来缓解一下Exposure Bias问题(参考《Seq2Seq中Exposure Bias现象的浅析与对策》),模型还能有进一步提升;还有或许可以引入copy机制,增强输出与输入数字的一致性;还有可以想办法进一步缩短序列长度(比如四个字符的3.14替换为两个字母pi)。这些就留给大家尝试了~

标准输出 #

如果纯粹从建模的角度来看,其实我们的任务已经完成了,即模型只需要输出式子就行了,评测的时候则只需要判断式子eval后的结果跟参考答案是否一致就好。但是从实际实用的角度,我们还需要对输出做进一步的标准化,即根据不同的题目决定输出的是小数、整数、分数还是百分数等,这就需要我们:1、决定什么时候该输出什么格式;2、根据指定格式对结果进行转换。

第一步比较简单,一般来说根据题目或方程的一些关键字就可以判断了。比如表达式里边如果有小数的,那么输出结果一般也是小数;如果题目是问“多少辆”、“多少个”、“多少人”之类的,那么输出的都是整数;如果直接问“几分之几”或“百分之几”的,那么相应地就是分数或百分数了。比较困难是应该是取整类题目,比如“每盒蛋糕7.90元,50元最多可以买多少盒蛋糕?”要求我们对50/7.90进行下取整,但有时候则是上取整。不过让笔者很意外的是,ape210k里边并没有取整类题目,所以也就不存在这个问题。如果遇到有取整的数据集,如果规则判断起来比较困难,那么最直接的方法就是把取整符号也加入到equation中让模型去预测。

第二步看起来有点复杂,主要是分数的场景,一般读者可能不知道如何让式子保留分数运算结果,如果直接eval('(1+2)/4'),那么得到的是0.75(Python3),但有时我们希望得到的是分数结果3/4。事实上,保持分数的运算属于CAS的范畴(Computer Algebra System,计算机代数系统),说白了就是符号运算而不是数值运算,而Python中刚好也有这样的工具,那就是SymPy,利用SymPy就能达到我们的目的了。具体请看下面的例子:

from sympy import Integer
import re

r = (Integer(1) + Integer(2)) / Integer(4)
print(r)  # 输出是 3/4 而不是 0.75

equation = '(1+2)/4'
print(eval(equation))  # 输出是 0.75

new_equation = re.sub('(\d+)', 'Integer(\\1)', equation)
print(new_equation)  # 输出是 (Integer(1)+Integer(2))/Integer(4)
print(eval(new_equation))  # 输出是 3/4

文章小结 #

本文介绍了用Seq2Seq模型做数学应用题的一个baseline,主要思路就是通过“BERT+UniLM”直接将问题转换为可eval的表达式,然后分享了一些结果标准化的经验。通过BERT Large模型的UniLM,我们达到了75%的准确率,超过了原论文开源的结果。

所以,你觉得它能上几年级了呢~

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如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (2020, Oct 19). 《BERT可以上几年级了?Seq2Seq“硬刚”小学数学应用题 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/7809