费曼路径积分思想的发展(一)

注：这是郝刘祥前辈的一篇论文，98年的时候发表在《自然辩证法通讯》上，里边讲述了费曼以及路径积分的相关故事。我从网上下载下来，原文是很粗糙的pdf文件，我特意将它转化为网页文件，供大家欣赏。有些公式很模糊，所以我已经到图书馆查找了原文，但是由于作者非理论物理专业人员，还不确定部分公式是否正确，请读者慎读。原文较长，将分开几篇来发。如果涉及到版权问题，请作者告之（bojone@spaces.ac.cn），我将会尽快处理掉。

自然辩证法通讯（JOURNAL OF DIALECTICS OF NATURE）
第二十卷总115期，1998第3期

郝刘祥

摘要：该文首先阐述了 Richard Feynman为解决经典电动力学的发散问题而做的艰苦努力，进而论述了这种努力的副产品何以使他偏爱作用量表述，以及他是如何在Dirac文章的启发下得到非相对论量子力学的第三种形式--作用量量子化方案的。文章的第三部分叙述了费曼将其方案推广到相对论情形的尝试和费曼图的由来。最后，该文试图就路径积分方法在量子场论等领域中的广泛应用以及费曼对量子场论的重大疑惑作一简要的说明。

关键词：费曼，作用量，几率幅，路径积分

量子理论中的路径积分方法是费曼为解决电动力学中的发散困难而发展起来的，它是费曼历经八年艰苦思考的结晶。这个方法不仅为经典力学和量子力学之间的联系架起了一座新的桥梁。同时还为量子力学、场论和统计模式提供了一个统一的观点。所以戴逊说：“费曼的理论根植于物理实在，它是爱因斯坦早年而非晚年精神的体现。”[1]这就是费曼的风格：针对具体问题来寻找普遍原理，进而用鲜明的物理图像加以阐述。“费曼是个极有独创性的科学家”，戴逊曾这样描述道：“他不把任何人的话当真。这就意味着他得自己去重新发现或发明几乎全部物理学。为了重新表述量子力学。他专心致志地工作了五年。他说他不能理解教科书中所教的量子力学的标准解释，所以他必须从头开始。这是一项英雄般的伟业。”[2]在这篇文章里，我主要依据费曼本人的论著，特别是他的诺贝尔讲演[3]，来追述费曼对一个自洽的量子电动力学理论的执着而又热烈的求索。同时，我将参照关洪先生的观点[4]，对路径积分的重大意义稍加讨论。

1、经典自能问题

三十年代，整个物理学界弥漫着对量子电动力学现状的不满情绪，一些著名的物理学家，如狄拉克、奥本海默，都认为这儿必须引进某种崭新的观点。费曼那时还是麻省理工学院的一名本科生，当他从狄拉克的《量子力学原理》等标准著作中了解这种状况后。遂“以此作为挑战”[5]当时，费曼对这一问题还没有一个清晰的认识，仅把无穷归结为两点，一是电子作用于自身的无穷大自能，一是与场的无穷多自由度相关的无穷大。对前者，他还是一种经典的理解，对后者，他只看到零点能问题。然而，凭着年轻的激情与天赋的才华，费曼为自己设计了一个宏伟的目标：首先解决经典电动力学的发散困难，然后将它量子化，从而获得一个令人满意的量子电动力学理论。“既然他们对我想要解决的这一问題都没有给出一个令人满意的答案，我就不必理睬他们的工作。“（[5]）费曼当时想，一个电子产生一个场而这个场又作用于产生该场的电子，这个想法太荒谬。他认为，一个电子只能作用于其它的电子，这样既消除了电子自能也没有了场的无穷多自由度。怀揣着这个念头，费曼于1939年进入普林斯顿研究生院，接受长他七岁的物理学家惠勒的指导。

来到普林斯顿不久，费曼就认识到，如果电子不作用于自身，辐射阻尼就得不到解释。按照经典电动力学，一个加速运动的电子要辐射能量，因此必须有一个额外的力来补偿这一能量损失。这个额外的力源自何处？本世纪初，洛沦兹认为，它来自电子各部分之间通过推迟势的相互作用，并就一维情况推导出它的显式表示：

$$F=\alpha \frac{e^2}{ac^2}\ddot{X}-\frac{2}{3}\frac{e^2}{c^3}\dddot{X}+\gamma \frac{e^2 a}{c^4}\ddddot{X}+...$$

这里$\alpha$和$\gamma$的量级为1，a是电子半径，当时电子被设想为一个质量为m电荷为e的小球。对一个荷电均匀分布的小球，$\alpha=\frac{2}{3}$。洛仑兹表明，当a趋于零时，高阶项也趋于零。第二项是有限的，它正好解释电子加速运动时的辐射损失。但第一项却发散，给出一个无穷大的电磁质量$\frac{2e^2}{3ac^2}$，并且与一个静止电子的电磁质量$\frac{e^2}{2ac^2}$不同。倘若一个电子的质量完全来自电磁质量，那么电子各部分之间的静电斥力就会使电子灰飞烟灭。因此，设想电子的结构很容易使人陷入一团迷雾之中[6]。

即要解释辐射阻尼，又不愿放弃原来的想法，费曼一筹莫展。怎样用另一个电子的反作用来说明辐射阻尼呢？为此费曼求教于惠勒。惠勒当即指出，费曼的想法有三个错误：（1）反作用力依赖于第二个电子的质量和两者之间的距离r，而辐射阻尼与此无关；（2）反作用有一时间推迟，而辐射阻尼没有；（3）如果该电子周围均匀地分布着大量电子，那么反作用与体积元$r^2 dr$成正比，因而正比于周围物质的厚度，从而也会趋向无穷。经惠勒的指点，费曼才恍然大悟，他的反作用就是普遍的光反射，与辐射阻尼不沾边。

但惠勒却接过了无自相互作用这一想法，并引进狄拉克的超前波假设来拯救费曼思想[7]。狄拉克一度设想，一个电子既可以通过超前势也可以通过推迟势作用于自身，因为麦克斯韦方程同样容许超前解。据此，我们有，

$$F_{adv}=\alpha \frac{e^2}{ac^2}\ddot{X}+\frac{2}{3}\frac{e^2}{c^3}\dddot{X}+\gamma \frac{e^2 a}{c^4}\ddddot{X}+...$$

如果假设电子的自相互作用是半推迟势减除半超前势，那么

$$F=-\frac{2}{3}\frac{e^2}{c^3}\dddot{X}+...$$

洛仑兹公式中的第一项现在消失了，我们由此便得到一个有限的辐射阻尼。惠勒首先把狄拉克的半超前自相互作用改成不同电子之间的半超前相互作用，从而解决了费曼反作用的时间推迟问题。接着，惠勒权且假设，超前波通过媒质时没有折射，而推迟波却有一折射系数n。用这个相当任意的假设，他证明了费曼的反作用与电荷和媒质厚度无关。在惠勒这个想法的基础之上，费曼定量地证明了半超前和半推迟解正确地给出辐射阻尼项。他还证明，如果在源附近放一个试验电荷，来自于源和媒质的两个半超前波同时到达并相互抵消，而两个半推迟波合成一个推迟波。超前波没有可观测到的效应，仅对辐射阻尼有所贡献。

这是一个很奇妙的理论，它不仅成功地避开了经典场论中的无穷大电磁质量，同时还保留了线性麦克斯韦方程和点电荷这两个优美的特点，既不用像玻恩和英费尔德那样采用复杂的非线性方程，也不会陷入猜想电子结构的泥淖之中。按照传统理论，如果我们在时间t加速一个电子a，电子b就会在时间$t’=t+\frac{r}{c}$受到电子a的影响，而电子a会在一个更后的时刻受到电子b的影响。现在，电子a在时刻$t’’=t-\frac{r}{c}$就受到电子b的影响，也就是说电子a在时刻t就已受到将会受其影响的其它电子的作用。应用半超前半推迟的直接相互作用，费曼发现了一种新的作用量：

$$A=\sum_{i} m_I \int (\dot{X}_u^i\dot{X}_u^i)^{1/2} d\alpha_i + \frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\int \int \delta(I_{ij}^2)\dot{X}_u^i(\alpha_i)\dot{X}_u^j(\alpha_j)d\alpha_i d\alpha_j$$

这里$X_u^i(a_i)$是粒子i的四矢位置。该式第一项是恰时积分，表示质量为$m_i$的相对论性自由粒子的普通作用量;第二项为电荷间通过半推迟半超前麦克斯韦势的直接相互作用，排除了自相互作用。从作用量A出发，我们可以重新得到有半推迟半超前解的麦克斯韦方程。由此费曼获得了经典电动力学的一种新形式。

同一理论的不同表述从此给费曼留下了深刻的印象，井对他日后的研究工作产生了重大的影响。“每一位优秀的理论物理学家都知道同一理论的六七种不同的表述”[8]。1964年他在康乃尔大学的铕讲中说：“从科学上来讲，它们是等价的，但从心理学上来讲，却有两点区别。首先，你可能出于哲学的考虑偏爱其中的某一种；其二，当你猜想新定律时它们的启发价值大不一样。”（[8]，p.53）经典自能的研究，使得费曼更偏爱于从作用量出发的粒子解释，而不是用微分方程描述的场论形式。在他看来，“场不过是坚持用哈密顿方法的簿记变量而已。”[5]应用这个新的作用量，费曼还能很容易地对麦克斯韦方程作出某些修正。比如，若是采纳Bopp的建议，考虑小距离时的非局域效应，只需用$f(s^2)$取代作用量A中的$\delta$函数。再如，若一个电子的质量可归因于电磁质量，那么作用量A就有一个非常简单的形式：

$$A=\frac{1}{2} \sum_{i,j} e_i e_j \int \int f(I_{ij}^2) \dot{X}_u^i(\alpha_i)\dot{X}_u^j(\alpha_j)d\alpha_i d\alpha_j$$

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