太阳帆技术的粗浅分析

如果说建造天梯对于我们来说遥不可及的话，那么利用太阳帆技术进行太空航行可以说是“近在眉睫”了。通过《天文爱好者》上面的文章，我们能够对太阳帆的技术以及发展有了相当的了解。但是，这仅仅知道了“What（是什么）”和“How（怎么样）”，却还不知道“Why（为什么）”。现在尝试利用我们已经接触过的物理和天文知识，来对太阳帆技术进行一个浅层面的分析。

太阳帆的动力主要来源于光压（或者称辐射压），而来自太阳风本身的力还不够光压的1%。众所周知，压强$P=F/S$，而压力$F=\frac{dp}{dt}$（别混淆了P和p），p是动量；换句话所，光的压力是光在单位时间内带给受力者的动量。对于一个光子来说，它的能量为$E=mc^2=h\nu$，动量$p=\frac{h}{\lambda}=mc=\frac{E}{c}$，于是F就是$F=\frac{dE}{cdt}$。对于太阳来说，它的光的压力是所有光子的压力的总和，因此$F=n\frac{dE}{cdt}=\frac{d(nE)}{cdt}$，(nE)正是太阳释放的总能量，而$\frac{d(nE)}{dt}=L$正是太阳的辐射功率，于是太阳的辐射压力是$F=\frac{L}{c}$。其中$L=3.827 \cdot 10^{26} W$。这样的压力作用在一个距离太阳中心R处的球面上，于是光压强为$P=\frac{L}{4\pi r^2 c}$.

设太阳帆是均匀的，受光面积为S，于是得到的推力为$F_{ray}=\frac{L\cdot S}{4\pi r^2 c}$。要是太阳帆是理想的反射体，那么推理可以达到$F_{ray}=\frac{L\cdot S}{2\pi r^2 c}$（这是动量守恒的体现，设想一下你撞上了一个不动的物体后，如果你就附在物体上，那么显然你把你的动量给它了，它开始运动；如果你还要以相同的速度离开它，那你还得再踹它一脚，这一踹，又给它增加了动量。）由于我们考虑的是理想情况，所以不妨假设$F_{ray}=\frac{L\cdot S}{2\pi r^2 c}$，若太阳帆的质量为$m=\rho Sh$（ρ是密度，h是厚度），那么由此获得的加速度为

$$a_{ray}=\frac{f_{ray}}{m}=\frac{L}{2\pi c \rho h}\cdot \frac{1}{r^2}$$

可见光压和引力一样，也是与距离平方成反比的力。上式给出了由太阳光压可能获得的最大加速度，并且从上式可以看出，我们需要选取更轻(ρ)更薄(h)的材料制作太阳帆。

另外，我们希望利用光作为动力飞向深空，那么光压必须得战胜来自太阳的引力（这两者总是反向的），用数学式子写出来就是

$$a=a_{ray}-a_G=(\frac{L}{2\pi c \rho h}-GM_{sun})\frac{1}{r^2} > 0$$
解得$\rho h < \frac{L}{2\pi GMc} \approx 1.52*10^{-3} kg//m^2=1.52g//m^2$

ρh即所谓的面密度。日本的“伊卡洛斯”显然还没有达到这个要求，它的面密度大概为$76g //m^2$。当然，它的主要密度是测试能否产生动力，而非真正深空探测（它的目标是去金星）。

另外，以上讨论其实过于理想化，因为上述讨论中隐含了卫星的所有质量均来自帆的假设，而实际上卫星仍有相当部分的质量是“非帆质量”（即不见光或不可提供动力的质量），设这部分质量为m'，于是

$a_{ray}=\frac{L*S}{2\pi c (m+m')}*\frac{1}{r^2}$$\begin{aligned}=\frac{L}{2\pi c (m/S+{m'}/S)}\cdot \frac{1}{r^2} \\ =\frac{L}{2\pi c (\rho h+{m'}/S)}\cdot \frac{1}{r^2}\end{aligned}$$

同样要让$a=a_{ray}-a_G > 0$，则得要

$$\rho h+{m'}/S < \frac{L}{2\pi GMc} \approx 1.52g//m^2$$
这对光帆的面密度和面积都提出了要求。因为至少需要：
$$\rho h < \frac{L}{2\pi GMc},{m'}/S < \frac{L}{2\pi GMc}$$

这就告诉我们，除了选取更轻(ρ)更薄(h)的制作材料外，还要把帆做的更大(S)，同时卫星的负载尽可能轻。由上式可以算得，纯利用太阳光压把1kg的物体送出太阳系，至少需要约660平方米的帆（直径29米的圆）。

上面BoJone用简单的物理知识对太阳帆技术进行了简单的研究，希望能够抛砖引玉。如果其中有任何不对的地方，望读者不吝指出！

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