科学空间|Scientific Spaces

众所周知，现在的Transformer越做越大，但这个“大”通常是“宽”而不是“深”，像GPT-3虽然参数有上千亿，但也只是一个96层的Transformer模型，与我们能想象的深度相差甚远。是什么限制了Transformer往“深”发展呢？可能有的读者认为是算力，但“宽而浅”的模型所需的算力不会比“窄而深”的模型少多少，所以算力并非主要限制，归根结底还是Transformer固有的训练困难。一般的观点是，深模型的训练困难源于梯度消失或者梯度爆炸，然而实践显示，哪怕通过各种手段改良了梯度，深模型依然不容易训练。

近来的一些工作（如Admin）指出，深模型训练的根本困难在于“增量爆炸”，即模型越深对输出的扰动就越大。上周的论文《DeepNet: Scaling Transformers to 1,000 Layers》则沿着这个思路进行尺度分析，根据分析结果调整了模型的归一化和初始化方案，最终成功训练出了1000层的Transformer模型。整个分析过程颇有参考价值，我们不妨来学习一下。

增量爆炸

原论文的完整分析比较长，而且有些假设或者描述细酌之下是不够合理的。所以在本文的分享中，笔者会尽量修正这些问题，试图以一个更合理的方式来得到类似结果。

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在《训练1000层的Transformer究竟有什么困难？》中我们介绍了微软提出的能训练1000层Transformer的DeepNet技术。而对于DeepNet，读者一般也有两种反应，一是为此感到惊叹而点赞，另一则是觉得新瓶装旧酒没意思。出现后一种反应的读者，往往是因为DeepNet所提出的两个改进点——增大恒等路径权重和降低残差分支初始化——实在过于稀松平常，并且其他工作也出现过类似的结论，因此很难有什么新鲜感。

诚然，单从结论来看，DeepNet实在算不上多有意思，但笔者觉得，DeepNet的过程远比结论更为重要，它有意思的地方在于提供了一个简明有效的梯度量级分析思路，并可以用于分析很多相关问题，比如本文要讨论的“为什么需要残差”，它就可以给出一个比较贴近本质的答案。

增量爆炸

为什么需要残差？答案是有了残差才更好训练深层模型，这里的深层可能是百层、千层甚至万层。那么问题就变成了为什么没有残差就不容易训练深层模型呢？

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Pre Norm与Post Norm之间的对比是一个“老生常谈”的话题了，本博客就多次讨论过这个问题，比如文章《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》、《模型优化漫谈：BERT的初始标准差为什么是0.02？》等。目前比较明确的结论是：同一设置之下，Pre Norm结构往往更容易训练，但最终效果通常不如Post Norm。Pre Norm更容易训练好理解，因为它的恒等路径更突出，但为什么它效果反而没那么好呢？

笔者之前也一直没有好的答案，直到前些时间在知乎上看到 @唐翔昊 的一个回复后才“恍然大悟”，原来这个问题竟然有一个非常直观的理解！本文让我们一起来学习一下。

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在《你可能不需要BERT-flow：一个线性变换媲美BERT-flow》中，笔者提出了BERT-whitening，验证了一个线性变换就能媲美当时的SOTA方法BERT-flow。此外，BERT-whitening还可以对句向量进行降维，带来更低的内存占用和更快的检索速度。然而，在《无监督语义相似度哪家强？我们做了个比较全面的评测》中我们也发现，whitening操作并非总能带来提升，有些模型本身就很贴合任务（如经过有监督训练的SimBERT），那么额外的whitening操作往往会降低效果。

为了弥补这个不足，本文提出往BERT-whitening中引入了两个超参数，通过调节这两个超参数，我们几乎可以总是获得“降维不掉点”的结果。换句话说，即便是原来加上whitening后效果会下降的任务，如今也有机会在降维的同时获得相近甚至更好的效果了。

方法概要

目前BERT-whitening的流程是：
\begin{equation}\begin{aligned}
\tilde{\boldsymbol{x}}_i =&\, (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu})\boldsymbol{U}\boldsymbol{\Lambda}^{-1/2} \\
\boldsymbol{\mu} =&\, \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol{x}_i \\
\boldsymbol{\Sigma} =&\, \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu})^{\top}(\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu}) = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{U}^{\top} \,\,(\text{SVD分解})
\end{aligned}\end{equation}

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位置编码是Transformer中很重要的一环，在《让研究人员绞尽脑汁的Transformer位置编码》中我们就总结了一些常见的位置编码设计。大体上，我们将Transformer的位置编码分为“绝对位置编码”和“相对位置编码”两类，其中“相对位置编码”在众多NLP/CV的实验表现相对来说更加好些。

然而，我们可以发现，目前相对位置编码几乎都是在Softmax之前的Attention矩阵上进行操作的，这种施加方式实际上都存在一个理论上的缺陷，使得Transformer无法成为“万能拟合器”。本文就来分析这个问题，并探讨一些解决方案。

简单探针

顾名思义，位置编码就是用来给模型补充上位置信息的。那么，如何判断一个模型有没有足够的识别位置的能力呢？笔者之前曾构思过一个简单的探针实验：

对于一个有识别位置能力的模型，应该有能力准确实现如下映射 \begin{equation}\begin{array}{lc} \text{输入：} & [0, 0, \cdots, 0, 0] \\ & \downarrow\\ \text{输出：} & [1, 2, \cdots, n-1, n] \end{array}\end{equation}

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到目前为止，笔者给出了生成扩散模型DDPM的两种推导，分别是《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》中的通俗类比方案和《生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式VAE》中的变分自编码器方案。两种方案可谓各有特点，前者更为直白易懂，但无法做更多的理论延伸和定量理解，后者理论分析上更加完备一些，但稍显形式化，启发性不足。

贝叶斯定理（来自维基百科）

在这篇文章中，我们再分享DDPM的一种推导，它主要利用到了贝叶斯定理来简化计算，整个过程的“推敲”味道颇浓，很有启发性。不仅如此，它还跟我们后面将要介绍的DDIM模型有着紧密的联系。

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在文章《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》中，我们为生成扩散模型DDPM构建了“拆楼-建楼”的通俗类比，并且借助该类比完整地推导了生成扩散模型DDPM的理论形式。在该文章中，我们还指出DDPM本质上已经不是传统的扩散模型了，它更多的是一个变分自编码器VAE，实际上DDPM的原论文中也是将它按照VAE的思路进行推导的。

所以，本文就从VAE的角度来重新介绍一版DDPM，同时分享一下自己的Keras实现代码和实践经验。

Github地址：https://github.com/bojone/Keras-DDPM

多步突破

在传统的VAE中，编码过程和生成过程都是一步到位的：
\begin{equation}\text{编码:}\,\,x\to z\,,\quad \text{生成:}\,\,z\to x\end{equation}

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相信很多读者都听说过甚至读过克莱因的《高观点下的初等数学》这套书，顾名思义，这是在学到了更深入、更完备的数学知识后，从更高的视角重新审视过往学过的初等数学，以得到更全面的认知，甚至达到温故而知新的效果。类似的书籍还有很多，比如《重温微积分》、《复分析：可视化方法》等。

回到扩散模型，目前我们已经通过三篇文章从不同视角去解读了DDPM，那么它是否也存在一个更高的理解视角，让我们能从中得到新的收获呢？当然有，《Denoising Diffusion Implicit Models》介绍的DDIM模型就是经典的案例，本文一起来欣赏它。

思路分析

在《生成扩散模型漫谈（三）：DDPM = 贝叶斯 + 去噪》中，我们提到过该文章所介绍的推导跟DDIM紧密相关。具体来说，文章的推导路线可以简单归纳如下：
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})\xrightarrow{\text{推导}}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\xrightarrow{\text{推导}}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\xrightarrow{\text{近似}}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)\end{equation}

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