只要我们曾经拥有过——《萍聚》
By 苏剑林 | 2011-06-06 | 21379位读者 | 引用这首歌是凤儿介绍的,去年我们学校高一夏令营的“主题歌曲”。她说歌词写得很好,我感觉也挺不错的^_^
萍,指的是漂浮在水面上的一种藻类,风吹过来,它们就会在风的作用力下聚在一起。人好象是浮在水面上的荷叶,聚散不过都是风吹动所致,到处飘散而已。因此便有了“萍水相逢”这一成语,指的是无心的邂逅或偶然的相遇。“萍聚”亦然。
曾有宋词写道“风中柳絮水中萍,聚散两无情”,这便让我们倍感人生悲欢离合的无奈。在这个充斥着高考的离别的六月里,离愁味道更浓了。可是,不论如何,明天的事情与我们无关,我们要珍惜今天事,珍惜今天人,尽我所能把握好我所拥有的。正如——
Cherish someone special for you and let them know you cherish them.
这样,当我们真的面临无可奈何的离别时,也能够含泪而微笑地挥手,唱着“只要我们曾经拥有过...”。这就是《萍聚》的声音!
[欧拉数学]素数有无穷多个的两个证明
By 苏剑林 | 2011-10-02 | 68872位读者 | 引用素数是数的基本单元,就如同高楼大厦中的砖块一样。显然,素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然,数的研究就局限在有限个素数之内,那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头,就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明,其中一个是欧几里得的证明,这是最原始、最简单的证法,相信很多读者已经学习过了,在此还是要提一下;另外一个是我在《怎样解题》中看到的,原作者是欧拉,也是一个非常美妙的证明。当然,本文强调的思想,论证过程可能会有一些不严谨的地方,请读者完善^_^
一、欧几里得证明
这个证明思想非常简单:若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个,那么我们就把它们相乘,然后加上1,得到的将会是什么呢?如果是一个素数,那么将会与素数只有n个矛盾;如果是一个合数,它除以原来的n个素数都不是整数,那么它就会拥有新的素数因子了,这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况,只有素数有限,就会得出矛盾,于是素数必然是无限的。
[欧拉数学]黎曼ζ函数
By 苏剑林 | 2011-11-18 | 49066位读者 | 引用欧拉数学的魅力在于,它运用类比的方法,把各个看似毫无关联的领域联系了起来,生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨,但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝,而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的,它不仅给予我们答案,而且还给予了我们启迪:新的思想,新的方向;有时,它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”!
黎曼ζ函数指的是:
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数,但是将复分析引入数论后,将s推广至复数具有更大的研究价值。
轻微的扰动——摄动法简介(2)
By 苏剑林 | 2013-02-06 | 37474位读者 | 引用为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤,本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的:
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$
这是一道微分方程。要求解这道方程,最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解,所以迫使我们要考虑近似解。当然,一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。
我们将原方程变为下面的形式:
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$
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