“熵”不起：从熵、最大熵原理到最大熵模型（三）

上集回顾 #

在上一篇文章中，笔者分享了自己对最大熵原理的认识，包括最大熵原理的意义、最大熵原理的求解以及一些简单而常见的最大熵原理的应用。在上一篇的文末，我们还通过最大熵原理得到了正态分布，以此来说明最大熵原理的深刻内涵和广泛意义。

本文中，笔者将介绍基于最大熵原理的模型——最大熵模型。本文以有监督的分类问题来介绍最大熵模型，所谓有监督，就是基于已经标签好的数据进行的。

事实上，第二篇文章的最大熵原理才是主要的，最大熵模型，实质上只是最大熵原理的一个延伸，或者说应用。

最大熵模型 #

分类：意味着什么？ #

在引入最大熵模型之前，我们先来多扯一点东西，谈谈分类问题意味着什么。假设我们有一批标签好的数据：
$$\begin{array}{c|cccccccc} \hline \text{数据}x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots & 100 \\ \hline \text{标签}y & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ \hline \end{array}$$
所谓分类问题，就是给出一个模型，我告诉模型$x$，模型给能够告诉我对应的$y$，因此，很自然可以把分类问题看成是一个拟合问题，即找到函数$y=f(x)$来拟合这批数据。可用来拟合的函数有很多，简单的有线性函数（线性回归）、Logistic函数（Logistic回归），复杂的有多层神经网络，都是通过把分类问题看成拟合问题来解决。

然后，这种看法并不是唯一，我们还可以用概率的角度看待分类问题。因为世界上几乎没有什么确定的事情，因此，当我们输入$x$时，输出的$y$值并不是确定的，比如上述数据，当我们输入1时，它以一定的概率输出1或0，只不过1的概率更大一些而已。这时候，分类问题变成了已知$x$的情况下求$y$的概率分布的问题，也就是求条件分布$p(Y|X)$。

而在前面一篇文章已经知道，最大熵原理天生就是用来求概率分布的，因此在这里，最大熵原理自然地与分类问题结合了起来，产生了最大熵模型。

最大熵模型 #

现在，分类问题变成了求条件分布$p(Y|X)$的问题，我们还是用最大熵原理来求解，不同的是，由于是条件分布，因此，我们需要求极值的熵是条件熵（参考第一篇）：
$$S(Y|X)=S[p(x,y)]-S[p(x)]\tag{37}$$
而
$$p(y|x)=\frac{p(x,y)}{p(x)}\tag{38}$$
因此，求出$p(x,y)$和$p(x)$就可以求出条件分布$p(Y|X)$。这里的$p(x,y)$和$p(x)$均是未知的，但是我们认为，可以通过大量的统计，得出$p(x)$的经验分布$\tilde{p}(x)$（因为$x$仅仅是需要收集的数据，因此，这个统计是理论可行的。），因此，未知的分布仅仅是$p(x,y)$，我们集中精力求它。这时候，求$(37)$式的最大值，等价于求$S[p(x,y)]$的最大值。

如何确定$x$与$y$的关系呢？很简单，统计！通过统计已经标签好的数据，来得出它们之间的概率关系。而如果要用数学描述的话，我们需要定义特征函数：
$$\chi(x,y)=\left\{\begin{aligned}&1,\quad x,y\text{满足某个事实}\\ &0,\quad x,y\text{不满足某个事实}\end{aligned}\right.\tag{39}$$
比如，在上面给出的标签数据表中，我们发现，当$x$是奇数时，给出$y=1$，当$x$是偶数时，给出$y=0$，因此，我们猜想，结果跟奇偶性有关，因此，可以定义特征函数
$$\chi(x,y)=\left\{\begin{aligned}&1,\quad \text{当x是奇数且y=1时}\\ &0,\quad \text{其他情况}\end{aligned}\right.\tag{40}$$
然后，我们去统计满足特征函数的个数$N_{\chi}$，然后除以样本总数$N$，得到$\tau=N_{\chi}/N$。我们认为，当数据足够多时，这个“个数”就是平均意义下的结果
$$E[\chi(x,y)]=\sum_{x,y} p(x,y)\chi(x,y)=\tau\tag{41}$$
我们可以定义多个特征，得到多个特征函数，然后得到多个统计结果：
$$\left\{\begin{aligned}&E[\chi_1(x,y)]=\sum_{x,y} p(x,y)\chi_1(x,y)=\tau_1\\ &\vdots\\ &E[\chi_k(x,y)]=\sum_{x,y} p(x,y)\chi_k(x,y)=\tau_k\end{aligned}\right.\tag{42}$$
这些成为了对最大熵的约束，因此，又变成了一个带有约束的极大值问题，在第二篇中，我们已经给出了结果（类似式$(20)$）：
$$p(x,y)=\frac{1}{Z}\exp\left(-\sum_{i=1}^k \lambda_i \chi_i (x,y)\right)\tag{43}$$
而
$$Z=\sum_{x,y} \exp\left(-\sum_{i=1}^k \lambda_i \chi_i (x,y)\right)\tag{44}$$
注意，这里求出了$p(x,y)$，如果我们我们只关心$p(y|x)$，最好将它变成$p(y|x)$的形式，即
$$p(y|x)=\frac{p(x,y)}{p(x)}=\frac{1}{Z(x)}\exp\left(-\sum_{i=1}^k \lambda_i \chi_i (x,y)\right)\tag{45}$$
这里的$Z(x)=Z\times p(x)$是与$x$有关的归一化因子。

浅谈模型的应用 #

接下来是模型求解的问题，但是已经说过，最大熵原理相关的模型具有形式简单、适应能力强等特点，然而它却有一个致命的缺点——难于求解，一般只能够通过数值方法求解。笔者在这方面并没有自己的见解，所以就不细说了。有兴趣的读者可以参考其他文献，如这里。

我们再来仔细谈一下怎么用最大熵模型，假设我们提取了一个特征，这个特征有$N$个取值（比如这个特征为单词的词性，取值有动词、名词、形容词等），而我们做的是二元分类（如情感分类，积极或消极），那么事实上，可以构造$2N$个特征函数（动词-积极，名词-积极，动词-消极，名词-消极，等等组合）。再加上，如果提取了多个特征，那么特征函数的数目将是非常可观的。因此，最大熵模型的主要工作在于（人工）提取特征，当完成了特征提取后，最大熵模型给出了一种最佳的利用特征的方案（熵最大化的方案）。

因此，最大熵模型虽然适应能力强（适应能力强，是因为它可以在基于我们提出的任意约束的情况下，求出概率分布，约束的数目理论上没有限制），效果很好（如果能求解出来，那么效果通常是非常好的），但是应用比较窄，因为我们并没有一般的手段去很好地提取特征。所以一般的分类问题，很少直接用最大熵模型。尤其是深度学习算法流行后，多层神经网络强大的拟合能力和优良的性能，使得我们在通常的分类问题中，几乎不会再使用最大熵模型了。

那什么时候用这个最大熵模型呢？我们一般是”挑选出“适合用最大熵模型的问题（一般来说，特征的取值是二元的，或者特征不多），这时候，适合使用最大熵模型，而且作为单一的模型来说，效果一般比其他的模型好。（请回忆，最大熵的意义）

结束语 #

本系列到此算是结束了。很多网络文章或者书籍中，也讲解了最大熵模型的推导、求解等内容，但是我还是感觉，教科书上那种讲法，不够清晰明确。诸如熵的定义、熵的意义、最大熵的意义、最大熵模型的推导等，都不尽让我满意，因此，结合自己的理解，写了这三篇小文，既是自己的笔记，又是笔者与大家分享的自己的理解。如果有不当之处，请读者批评。

在本系列中，最大熵模型只是一个契机，事实上，三篇文章的重点是熵的概念和最大熵原理，它们才是值得反复琢磨的。熵量化了信息，量化了不确定性，我们可以用它来做很多事情。虽然这个系列结束了，但是关于信息、关于熵的内容，在本博客以后的文章中，仍会时常出现，因为关于熵，实在有太多美妙的不得不说的内容了。

关于最大熵模型，读者还可以参考吴军老师的《数学之美》，书中有两篇关于最大熵模型的介绍，还有很多其他的数据分析资料和故事，都很值得一看。

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