科学空间|Scientific Spaces

本文很荣幸得到了高教社的王超编辑（新浪微博 @朗道集结号 ）在微信上的推荐，在此表示十分的感谢。

朗道集结号
朗道、费曼、薛定谔、泡利、狄拉克、温伯格……大师在这里等着你，微信号：ldjjhwx

费曼&朗道

但是，结合自己在阅读他们的著作的感受，以及自己学习科学的过程，谈谈我对他们的著作的看法。

什么才是最简洁的方式？

相信不少读者觉得朗道的教程比费曼的讲义要深，感觉朗道的书总有大量的数学公式，而费曼的书则轻松一些。笔者开始也有这样的感觉，但是慢慢读下去，才感到费曼的书甚至比朗道的困难。

在进入讨论之前，我们不妨先想一下：什么才是理解物理的最简洁方式？数学越复杂，就越不好吗？

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从这个系列的第一篇文章到本文，已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的，为什么这么久才更新呢？原因有二，其一是随着春天的到来人也开始懒起来了，颓废呀～；其二，我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑，发展完质点力学理论后，下一步就是发展场论，诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西，即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点，我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果，即推导出电磁场的方程后，“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法，即假定场有这种对称性，然后就可以构建出场方程了。可是，为什么场存在着规范不变性，我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看，这个不变性似乎跟广义不变性有关（电磁场也是，这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性？）。还有，似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释，可是这样的话，就离我还很远了。

好吧，我们还是先回到相对论力学的推导中。

“无”中生有

上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元，并进行了延拓。我已经说过，仅需要无穷小的变换形式，就可以构建出完成的相对论力学定律出来（当然这需要一些比较“显然”的假设）。这是个几乎从“无”到有的过程，也是本文标题的含义所在。另一方面，这种从局部到整体的可能性，也给我们带来一些启示：假如方法是普适的，那么可以由此构造出我们需要的物理定律来，包括电磁场、引力场方程等。（当然，我离这个目标还有点远。）

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在对数学或物理进行事后分析，往往会发现一些奇怪的现象，也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换，可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式

我们知道，在原点处形态良好的函数，可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现，上面的幂都是正的，为什么不能包含$x$的负数次幂呢？比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是，结合复变函数，我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

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我们在上一篇文章中已经看到，随机游走的概率分布是正态的，而在概率论中可以了解到正态分布（几乎）是最重要的一种分布了。随机游走模型和正态分布的应用都很广，我们或许可以思考一个问题，究竟是随机游走造就了正态分布，还是正态分布造就了随机游走？换句话说，哪个更本质些？个人就自己目前所阅读到的内容来看，随机游走更本质些，随机游走正好对应着普遍存在的随机不确定性（比如每次测量的误差），它的分布正好就是正态分布，所以正态分布才应用得如此广泛——因为随机不确定性无处不在。

下面我们来考虑随机游走的另外一种描述方式，原则上来说，它更广泛，更深刻，其大名曰“路径积分”。

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标题说了两道比较好玩的编程题，如果读者觉得标题绕的让人眩晕的话，那么让我再说得清晰一点：

两百万前素数之和指的是所有不超过两百万的素数的和；
前两百万素数之和指的是前两百万个素数的和。

我是从子谋的blog中看到这道题目的，前一道题目是Project Euler的第10题，后一道则是我跟子谋探索着玩的。关于子谋的研究和代码，大家可以去他的blog上学习。本文分享一下我自己的想法。

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学过线性代数的朋友都知道，方阵和非方阵的一个明显不同是，对于方阵我们可以计算它的行列式，如果不是方阵的话，就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中，为什么非方阵却没有行列式？也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵，其实也可以类似地定义它的行列式，定义出来的东西，跟方阵的行列式具有同样的性质，比如某行乘上一个常数，行列式值也就乘以一个常数，等等；而且还可以把其几何意义保留下来。但是，非方阵的行列式是不够美的，因为对于一个一般的整数元素的方阵，我们的行列式是一个整数；而对于一个一般的整数元素的非方阵，却导致了一个无理数的行列式值。另外，一个也比较重要的原因是，单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由，非方阵的行列式就被舍弃不用了。

非方阵的行列式不够漂亮

$n$阶方阵的行列式是每个向量的线性函数，它代表着向量之间的线性相关性；从几何上来讲，它就是向量组成的平行n维体的（有向）体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质，因为只有这样，方阵行列式的那些运算性质才得以保留，比如上面说的，行列式的一行乘上一个常数，行列式值也乘上一个常数。我们考虑$m\times n$的矩阵，其中$ m < n $，我们将它看成是$m$个$n$维向量的组合。最简单的，我们先考虑$1\times 2$矩阵的行列式，也就是二维向量$(a,b)$的行列式。

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在之前的文章《几何的数与数的几何：超复数的浅探究》中，我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质？读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子，有几何方面的，也有物理方面的，这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用，这一例子同样展示了复数这一性质的神奇，让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。

勾股数问题

读者或许已经知道，勾股数，也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解，由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$

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转载理由：现在的deepin和ylmf（已经改为StartOs）都已经在制作自己的Linux，而当初它们都是制作GhostXp的大家。我的初中，即2009年以前，是GhostXP流行的时代，而我当时也加入了这一行列中，发表过一些GhostXP的作品。后来随着时代的发展，XP也就慢慢退出了舞台。我也就随之退出了这个舞台，也因此得以专注科学。但是，几乎所有我的电脑知识，都积累于那个时期，因为为了完成一个系统的制作和推广，需要懂得的电脑技术很多很多，我也得到了充分的锻炼。下面列举的一些人，都是当年GhostXP界的神话人物，有些我并不认识，但其名在当时就如雷贯耳；有些人在当时还十分幸运地加上了他们的QQ。这篇文章实际上已经是很久已经的了，但还是值得回味过去的时间，以此为我的初中时代留下一些回忆。

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