当概率遇上复变：随机游走与路径积分

我们在上一篇文章中已经看到，随机游走的概率分布是正态的，而在概率论中可以了解到正态分布（几乎）是最重要的一种分布了。随机游走模型和正态分布的应用都很广，我们或许可以思考一个问题，究竟是随机游走造就了正态分布，还是正态分布造就了随机游走？换句话说，哪个更本质些？个人就自己目前所阅读到的内容来看，随机游走更本质些，随机游走正好对应着普遍存在的随机不确定性（比如每次测量的误差），它的分布正好就是正态分布，所以正态分布才应用得如此广泛——因为随机不确定性无处不在。

下面我们来考虑随机游走的另外一种描述方式，原则上来说，它更广泛，更深刻，其大名曰“路径积分”。

路径积分简介

谈到路径积分，就不能不谈到费曼了。路径积分的首创者就是我所推崇的天才物理学家费曼了。当时，路径积分是作为量子力学的第三种等价描述方式出现的。相对于海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学，费曼的路径积分在数学上是最繁琐的，但是它的思想却是最容易理解的，而且具有普遍性，以至于成为了现在的量子场论的主流形式。这进一步说明，数学上的繁琐不是问题的难度所在，如果思想简明了、逻辑清晰了，再繁琐的计算，也是很简单的。用物理学家的话说，那就是没有数学细节，我们还能干很多事情，但是没有物理思想，我们就什么也干不了。

路径积分的思想真的很简单，我们平时考虑的是概率密度，即一件事情发生在某个小区域内的概率。路径积分考虑的是事情沿着某条路径发生的概率（在量子力学中就是概率幅），然后采取某种积分测度，把所有路径的概率都加起来，得到总概率。

路径积分的思想就是这么简单，但是要在数学上清晰地处理它，还需要做很多工作，以后科学空间还会有专题介绍它。在此之前，费曼的《量子力学与路径积分》是一本非常好的参考书（似乎没有之一）。

随机游走的路径积分

根据上文的结果，我们知道在随机游走中，从$x_0$出发，$t$时间后，走到$x_n$处的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha t}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right)$$

我们把时间等分为$n$分，每份长度为$\Delta t=\frac{t}{n}$，在$i\Delta t$时刻，粒子的位置位于$x_i$。粒子从$x_i$到达$x_{i+1}$的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha \Delta t}}\exp\left(-\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{2\alpha \Delta t}\right)$$
所以粒子依次经过$x_1,x_2,\dots,x_{n-1},x_n$的概率密度为
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha \Delta t}}\right)^n\exp\left(-\frac{(x_1-x_0)^2+(x_2-x_1)^2+\dots+(x_n-x_{n-1})^2}{2\alpha \Delta t}\right)$$
省略前面的因子，然后取$\Delta t\to 0$的极限，得到粒子沿着路径$x=x(t)$走过的概率正比于
$$\exp\left(-\int\frac{\dot{x}^2}{2\alpha}dt\right)$$
这就得到了某条路径的概率。利用量子力学的路径积分方法，可以以此出发，反过来求得概率密度
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha t}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right)=\int \exp\left(-\int\frac{\dot{x}^2}{2\alpha}dt\right)\mathcal{D}x(t)$$
这就是随机游走的路径积分思想。至于具体的数学细节，我们以后再谈。

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