科学空间|Scientific Spaces

标题说了两道比较好玩的编程题，如果读者觉得标题绕的让人眩晕的话，那么让我再说得清晰一点：

两百万前素数之和指的是所有不超过两百万的素数的和；
前两百万素数之和指的是前两百万个素数的和。

我是从子谋的blog中看到这道题目的，前一道题目是Project Euler的第10题，后一道则是我跟子谋探索着玩的。关于子谋的研究和代码，大家可以去他的blog上学习。本文分享一下我自己的想法。

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费马大定理，也叫做费马最后定理(Fermat Last Theorem)，说的是

设$n$是大于2的正整数，则不定方程$x^n+y^n=z^n$没有全不为0的整数解。

Pierre_de_Fermat

稍微阅读过数学史的朋友应该知道，该定理首先于1637年由法国业余数学家费马（Pierre de Fermat）在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时写在第11卷第8命题旁写道。他并附加道：“我发现了一个非常漂亮的证明，但这里没有足够的空间可容纳得下。”根据后世的考证，费马或许有办法证明n=3,4,5的情形，但不大可能给出一般性的证明，因为在20世纪90年代，怀尔斯用了130页的纸张，而且用到了复杂的现代理论，才完全证明了费马大定理。所以费马当时的这一断言，更可能只是一个归纳猜测。

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费马大定理说的是$n > 2$的情况，但是我们可以从$n=2$出发，求解到勾股数组的一般表达式，并且从中得到证明费马大定理的原始思想。

互质解

我们在实整数，也就是$\mathbb{Z}$内求解。为了求解不定方程$x^2+y^2=z^2$，首先我们注意到，这是一道齐次方程，这告诉我们，如果存在某一组解，那么可以通过同除以公约数的方法，得到一组两两互质的解。换句话说，有解必有互质解，这是$x^n+y^n=z^n$的解的通性。那么，我们假设$(x,y,z)=(a,b,c)$ 是方程$x^2+y^2=z^2$的一个互质解。

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在之前的欧拉数学中，我们计算过所有素数的倒数之和，得出素数的倒数之和是发散的，从而这也是一个关于素数个数为无穷的证明。在本篇文章中，我们尝试计算所有素数之积，通过一个简单的技巧，得到素数之积的一个上限（以后我们也会计算下限），从而也得到$\pi(n)$的一个上限公式。更重要的，该估计是初等地证明Bertrand假设（说的是n与2n之间定有一个素数）的重要基础之一。本文内容部分参考自《数学天书中的证明》和《解析和概率数论导引》。

素数之积

笔者已经说过，数论的神奇之处就是它总是出人意料地把数学的不同领域联系了起来。读者很快就可以看到，本文的证明和组合数学有重要联系（但仅仅是简单的联系）。关于素数之积，我们有以下结论：

不超过$n$的所有素数之积小于$4^{n-1}$。

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七夕，想随便说一些。大家路过就行~~

印象之中，连续几年的七夕这一天都下雨，今天也下了一点雨。妈妈说七夕的雨是神仙水，很小的时候，如果七夕下雨，还专门装一些来洗澡。

牛郎织女相会了没有？

研究数学了。

在小学的时候，数学老师就教我们除法运算：

被除数 = 除数 × 商 + 余数

其中，余数要小于除数。不过，我们也许未曾想到过，这一运算的成立，几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术（数论）运算性质成立的基础！在代数中，上面的运算等式称为带余除法（division algorithm）。如果在一个整环中成立带余除法，那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质，比如唯一分解性，也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环，被称为唯一分解整环（Unique factorization domain）。

欧几里得整环

Euklid-von-Alexandria_1

唯一分解定理说的是在一个整环之中，所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积，并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下，分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理，比如$60=2^2\times 3\times 5$，这种分解是唯一的，这看起来相当显然，但实际上唯一分解定理相当不显然。首先，并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的，我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$，要注意，在$2\mathbb{Z}$中，2、6、10、30都是素数，因为它们无法分解成两个偶数的乘积了，但是$60=6\times 10=2\times 30$，存在两种不同的分解，因此在这样的数环中，唯一分解定理就不成立了。

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现在可以开始$n=3$的证明了。在实整数范围内n=3的证明看起来相当复杂，而且跟n=4的证明似乎没有相通之处。然而，如果我们在$\mathbb{Z}[\omega]$中考虑$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，就会跟n=4时有很多类似的地方，而且事实上证明比n=4时简单（要注意在实整数范围内的证明，n=4比n=3简单。费马完成了n=4的证明，但是没完成n=3的证明。）。我想，正是这样的类似之处，才让当初还没有完成证明的数学家拉梅就自信他从这条路可以完成费马大定理的证明。（不过，这自信却是失败的案例：拉梅的路不能完全走通，而沿着这条路走得更远的当属库默，但即便这样，库默也没有证明费马大定理。）

证明跟$n=4$的第二个证明是类似的。我们先往方程中添加一个单位数，然后证明无论单位数是什么，方程在$\mathbb{Z}[\omega]$中都无解。这是一个很妙的技巧，让我们证明了更多的方程无解，但是却用到了更少的步骤。事实上，存在着只证明$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，但需要非常仔细地分析里边的单位数情况，这是相当麻烦的。本证明是我参考了Fermats last theorem blogspot上的证明，然后结合本系列n=4的第二个证明，简化而来，主要是减少了对单位数的仔细分析。

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是时候了！

前面用好几篇文章为费马大定理的证明铺设了道路，当然，相当于完整的费马大定理证明来说，这几篇文章只不过是沧海一粟而已。不过，它们已经足够用来完成费马大定理在n=4时的证明了。我们很快会看到高斯整数为n=4所带来的简洁的证明，而这让我们坚信，这一道路可以走得更远。

不定方程$x^4+y^4=z^2$在$\mathbb{Z}[i]$中没有全不为0的解。

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