科学空间|Scientific Spaces

在拙作《“熵”不起：从熵、最大熵原理到最大熵模型（一）》中，笔者从比较“专业”的角度引出了熵，并对熵做了诠释。当然，熵作为不确定性的度量，应该具有更通俗、更形象的来源，本文就是试图补充这一部分，并由此给出一些妙用。

熵的形象来源

我们考虑由0-9这十个数字组成的自然数，如果要求小于10000的话，那么很自然有10000个，如果我们说“某个小于10000的自然数”，那么0～9999都有可能出现，那么10000便是这件事的不确定性的一个度量。类似地，考虑$n$个不同元素（可重复使用）组成的长度为$m$的序列，那么这个序列有$n^m$种情况，这时$n^m$也是这件事情的不确定性的度量。

$n^m$是指数形式的，数字可能异常地大，因此我们取了对数，得到$m\log n$，这也可以作为不确定性的度量，它跟我们原来熵的定义是一致的。因为
$$m\log n=-\sum_{i=1}^{n^m} \frac{1}{n^m}\log \frac{1}{n^m}$$

读者可能会疑惑，$n^m$和$m\log n$都算是不确定性的度量，那么究竟是什么原因决定了我们用$m\log n$而不是用$n^m$呢？答案是可加性。取对数后的度量具有可加性，方便我们运算。当然，可加性只是便利的要求，并不是必然的。如果使用$n^m$形式，那么就相应地具有可乘性。

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我不是研究引力的，也没有很好地学习过引力。在理论物理方面，我学习经典力学和量子力学比学习广义相对论要多得多。因此，本来我是不应该谈引力的，以免误人子弟。不过，在一次坐车的途中，司机的刹车和加速让我联想到了一些跟引力有关的东西，自我感觉比较有趣，所以发给大家分享一下，也请大家指正。

等效原理

坐汽车

引力，准确来说应该是“万有引力”。所谓“万有”，有两个含义：1、所有物体都能够产生引力；2、所有物体都被引力影响。一个力居然是“万有”的，这让爱因斯坦感觉到非常奇怪，这也是四种基本力之中，引力跟其他力区别最明显的地方。相比之下，电磁相互作用力就只能存在于有“电”的地方，弱相互作用只存在于费米子，等等。

除了引力之外，我们平时还遇到过什么“万有”的力吗？貌似没有。但是我们想象一下，当你坐在一辆长途大巴匀速前进时，突然司机来了一个急刹车，在刹车的那一瞬间，所有人都往前倾了，不仅如此，可能你的行李箱、你的随身物品都往前移的，事实上，车上所有东西都受到了一个往前的力！对于那辆车上的人和物来说，刹车的那一瞬间，就存在着一个“万有”的力！

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写在前面

在《理解黎曼几何》系列，笔者分享了一些黎曼几何的“几何”心得，同时遗留了一个问题：怎么真正地去算黎曼张量？MTW的《引力论》中提到了一种基于外微分的方法，可是我不熟悉外微分，遂学习了一番。确实，是《引力论》中快捷计算曲率张量的步骤让笔者决定深入了解外微分的。果然，可观的效益是第一推动力。

这系列文章主要分享一些外微分的学习心得，曾经过多次修改和完善，包含的内容很多，比如外积、活动标架、外微分及其在黎曼几何的一些应用等，最后包括一种计算曲率的有效方式。

符号说明：在本系列中，用粗体的字母表示向量、矩阵以及基底，用普通字母来表示标量，它有可能是一个标量函数，也有可能是向量的分量，如无说明，则用$n$表示空间（流形）的维度。本文中同样使用了爱因斯坦求和法则，即相同的上下指标表示$1\sim n$遍历求和，即$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}=\sum_{\mu=1}^{n} \alpha_{\mu}\beta^{\mu}$，习惯上将下标写在前面，比如$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}$事实上跟$\beta^{\mu}\alpha_{\mu}$等价，但习惯写成前者。常用的一些记号是：$\mu,\nu$表示分量指标，$x^{\mu}$表示点的坐标分量，$dx^{\mu}$表示切向量（微元）的分量，$\alpha,\beta,\omega$等希腊字母也常用来表示微分形式。符号的使用有重复的地方，但符号的意义基本都在符号出现的附近有说明，因此应该不至于混淆。

最后，就是笔者其实对外微分还不是特别有感觉，因此文章中可能出现谬误之处，请读者见谅并指出。本系列命名为“外微分浅谈”，不是谦虚，确实是很浅，认识得浅，说的也很浅～

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泰迪杯赛前培训

应广州泰迪科技公司之邀，给泰迪杯数据挖掘竞赛录制了赛前培训视频，内容基本上是各种常见的数学模型及入门用法，以一种比较独特的思路，将朴素贝叶斯、HMM、逻辑回归、组合模型、神经网络、深度学习等等串了起来。视频讲解难度为入门级，当然，真的要融合贯通所有内容，恐怕要骨灰级。

不管怎么样，简单分享一下，欢迎大家留言讨论、建议甚至批评。

PPT下载：泰迪杯赛前培训ppt.zip

视频地址：http://moodle.tipdm.com/course/view.php?id=18

部分效果

部分网站的爬取效果。其中图1是本博客的爬取效果，表明该方案是适用一般网站的；图2和图3是两个开源的论坛程序搭建起来的论坛的爬取效果，表明对于开源程序能够正常爬取；图4是对著名的天涯论坛的爬取效果，表明哪怕是公司内部开发的论坛，也具有不错的效果。

6-blog

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多彩金庸

在金庸笔下（其实很多武侠小说都如此），武功可以分三种：第一种是实打实的猛，如洪七公的降龙十八掌、金轮法王的龙象般若功等，它们的特点是主要特点是刚猛，比如

乔峰的降龙二十八掌是丐帮前任帮主汪剑通所传，但乔峰生俱异禀，于武功上得天独厚，他这降龙二十八掌摧枯拉朽，无坚不破，较之汪帮主尤有胜过。乔峰见对方双掌齐推，自己如以单掌相抵，倘若拼成平手，自己似乎稍占上风，不免有失恭敬，于是也双掌齐出。他左右双掌中所使掌力，也仍都是外三内七，将大部分掌力留劲不发。

——出自《天龙八部》世纪新修版

第二种是以虚招为主，也就是说你不能比对手猛，你骗倒对手也行，比如桃花岛的落英神剑掌：

这套掌法是黄药师观赏桃花岛中桃花落英缤纷而创制，出招变化多端，还讲究姿势之美。她双臂挥动，四方八面都是掌影，或五虚一实，或八虚一实，直似桃林中狂风忽起、万花齐落，妙在手足飘逸，宛若翩翩起舞，但她一来功力尚浅，二来心存顾惜，未能出掌凌厉如剑。郭靖眼花缭乱，哪里还守得住门户，不提防啪啪啪啪，左肩右肩、前胸后背，接连中了四掌，黄蓉全未使力，郭靖自也不觉疼痛。

——出自《射雕英雄传》世纪新修版

第三种是以巧招为主，它不求一味刚猛，也不一味虚虚实实，而且讲究用力恰到好处，起到“以柔克刚”、“四两拨千斤”之效。显然，这种武功的代表作是太极，另外打狗棒法、乾坤大挪移、还有全真教和古墓派的武功也暗含了这个道理，比如：

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注：2019.02.13 由科学空间苏剑林（https://kexue.fm）更新，修正公式76，并简化latex。

物理、天文研究得深入了，微积分的应用自然也就多了（其实很多内容都用到微积分）。所以弄出一个几何或者力学问题，随手就列出一道积分或者微分方程，这时求解是最重要的。对于我来说，求导数可以娓娓道来，轻松而得；而积分则比较困难（这与个人的技巧有关，更重要的是事实：导数几乎有通用的公式，而积分只能“凑”出来）。

因此，很多积分干脆依靠现成的公式，懒得去推导了。然后，并非随时随地都有《数学分析》在手的，对计算机数学软件的实用又不大熟悉，这时候只能够求助这一本《积分表》了。只要不是故意去钻那些竞赛级别的数学难题，这已经足够应付物理等方面的应用了。

这时候就这也不用愁到处找$\int \sqrt{a^2-x^2}dx$的结果了。

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自由落体公式-示意图

自由落体的一般定义是：只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素，忽略其他的运动和大气摩擦等因素，物体从静止（相对于吸引天体）开始接近吸引天体的运动。根据这个定义，假设地球为一个均匀球体，半径为r，质量为M，物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t，或者根据时间t求h。

令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离，忽略物体的小质量，那么可以列出微分方程：
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$

在实际应用中，我们不必求出这道微分方程的精确解，因为这个解极其麻烦，在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。

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