科学空间|Scientific Spaces

相信很多读者都听说过甚至读过克莱因的《高观点下的初等数学》这套书，顾名思义，这是在学到了更深入、更完备的数学知识后，从更高的视角重新审视过往学过的初等数学，以得到更全面的认知，甚至达到温故而知新的效果。类似的书籍还有很多，比如《重温微积分》、《复分析：可视化方法》等。

回到扩散模型，目前我们已经通过三篇文章从不同视角去解读了DDPM，那么它是否也存在一个更高的理解视角，让我们能从中得到新的收获呢？当然有，《Denoising Diffusion Implicit Models》介绍的DDIM模型就是经典的案例，本文一起来欣赏它。

思路分析

在《生成扩散模型漫谈（三）：DDPM = 贝叶斯 + 去噪》中，我们提到过该文章所介绍的推导跟DDIM紧密相关。具体来说，文章的推导路线可以简单归纳如下：
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})\xrightarrow{\text{推导}}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\xrightarrow{\text{推导}}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\xrightarrow{\text{近似}}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)\end{equation}

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对于生成扩散模型来说，一个很关键的问题是生成过程的方差应该怎么选择，因为不同的方差会明显影响生成效果。

在《生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式VAE》我们提到，DDPM分别假设数据服从两种特殊分布推出了两个可用的结果；《生成扩散模型漫谈（四）：DDIM = 高观点DDPM》中的DDIM则调整了生成过程，将方差变为超参数，甚至允许零方差生成，但方差为0的DDIM的生成效果普遍差于方差非0的DDPM；而《生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇》显示前、反向SDE的方差应该是一致的，但这原则上在$\Delta t\to 0$时才成立；《Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models》则提出将它视为可训练参数来学习，但会增加训练难度。

所以，生成过程的方差究竟该怎么设置呢？今年的两篇论文《Analytic-DPM: an Analytic Estimate of the Optimal Reverse Variance in Diffusion Probabilistic Models》和《Estimating the Optimal Covariance with Imperfect Mean in Diffusion Probabilistic Models》算是给这个问题提供了比较完美的答案。接下来我们一起欣赏一下它们的结果。

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在写生成扩散模型的第一篇文章时，就有读者在评论区推荐了宋飏博士的论文《Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations》，可以说该论文构建了一个相当一般化的生成扩散模型理论框架，将DDPM、SDE、ODE等诸多结果联系了起来。诚然，这是一篇好论文，但并不是一篇适合初学者的论文，里边直接用到了随机微分方程（SDE）、Fokker-Planck方程、得分匹配等大量结果，上手难度还是颇大的。

不过，在经过了前四篇文章的积累后，现在我们可以尝试去学习一下这篇论文了。在接下来的文章中，笔者将尝试从尽可能少的理论基础出发，尽量复现原论文中的推导结果。

随机微分

在DDPM中，扩散过程被划分为了固定的$T$步，还是用《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》的类比来说，就是“拆楼”和“建楼”都被事先划分为了$T$步，这个划分有着相当大的人为性。事实上，真实的“拆”、“建”过程应该是没有刻意划分的步骤的，我们可以将它们理解为一个在时间上连续的变换过程，可以用随机微分方程（Stochastic Differential Equation，SDE）来描述。

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上一篇文章《生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇》中，我们对宋飏博士的论文《Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations》做了基本的介绍和推导。然而，顾名思义，上一篇文章主要涉及的是原论文中SDE相关的部分，而遗留了被称为“概率流ODE（Probability flow ODE）”的部分内容，所以本文对此做个补充分享。

事实上，遗留的这部分内容在原论文的正文中只占了一小节的篇幅，但我们需要新开一篇文章来介绍它，因为笔者想了很久后发现，该结果的推导还是没办法绕开Fokker-Planck方程，所以我们需要一定的篇幅来介绍Fokker-Planck方程，然后才能请主角ODE登场。

再次反思

我们来大致总结一下上一篇文章的内容：首先，我们通过SDE来定义了一个前向过程（“拆楼”）：
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}) dt + g_t d\boldsymbol{w}\label{eq:sde-forward}\end{equation}

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在上一篇文章《生成扩散模型漫谈（七）：最优扩散方差估计（上）》中，我们介绍并推导了Analytic-DPM中的扩散模型最优方差估计结果，它是直接给出了已经训练好的生成扩散模型的最优方差的一个解析估计，实验显示该估计结果确实能有效提高扩散模型的生成质量。

这篇文章我们继续介绍Analytic-DPM的升级版，出自同一作者团队的论文《Estimating the Optimal Covariance with Imperfect Mean in Diffusion Probabilistic Models》，在官方Github中被称为“Extended-Analytic-DPM”，下面我们也用这个称呼。

结果回顾

上一篇文章是在DDIM的基础上，推出DDIM的生成过程最优方差应该是
\begin{equation}\sigma_t^2 + \gamma_t^2\bar{\sigma}_t^2\end{equation}
其中$\bar{\sigma}_t^2$是分布$p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$的方差，它有如下的估计结果（这里取“方差估计2”的结果）：
\begin{equation}\bar{\sigma}_t^2 = \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2}\left(1 - \frac{1}{d}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t\sim p(\boldsymbol{x}_t)}\left[ \Vert\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\Vert^2\right]\right)\label{eq:basic}\end{equation}

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前面的几篇文章都是比较偏理论的结果，这篇文章我们来讨论一个比较有实用价值的主题——条件控制生成。

作为生成模型，扩散模型跟VAE、GAN、flow等模型的发展史很相似，都是先出来了无条件生成，然后有条件生成就紧接而来。无条件生成往往是为了探索效果上限，而有条件生成则更多是应用层面的内容，因为它可以实现根据我们的意愿来控制输出结果。从DDPM至今，已经出来了很多条件扩散模型的工作，甚至可以说真正带火了扩散模型的就是条件扩散模型，比如脍炙人口的文生图模型DALL·E 2、Imagen。

在这篇文章中，我们对条件扩散模型的理论基础做个简单的学习和总结。

技术分析

从方法上来看，条件控制生成的方式分两种：事后修改（Classifier-Guidance）和事前训练（Classifier-Free）。

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对于很多读者来说，生成扩散模型可能是他们遇到的第一个能够将如此多的数学工具用到深度学习上的模型。在这个系列文章中，我们已经展示了扩散模型与数学分析、概率统计、常微分方程、随机微分方程乃至偏微分方程等内容的深刻联系，可以说，即便是做数学物理方程的纯理论研究的同学，大概率也可以在扩散模型中找到自己的用武之地。

在这篇文章中，我们再介绍一个同样与数学物理有深刻联系的扩散模型——由“万有引力定律”启发的ODE式扩散模型，出自论文《Poisson Flow Generative Models》（简称PFGM），它给出了一个构建ODE式扩散模型的全新视角。

万有引力

中学时期我们就学过万有引力定律，大概的描述方式是：

两个质点彼此之间相互吸引的作用力，是与它们的质量乘积成正比，并与它们之间的距离成平方反比。

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老读者也许会发现，相比之前的更新频率，这篇文章可谓是“姗姗来迟”，因为这篇文章“想得太多”了。

通过前面九篇文章，我们已经对生成扩散模型做了一个相对全面的介绍。虽然理论内容很多，但我们可以发现，前面介绍的扩散模型处理的都是连续型对象，并且都是基于正态噪声来构建前向过程。而“想得太多”的本文，则希望能够构建一个能突破以上限制的扩散模型统一框架（Unified Diffusion Model，UDM）：

1、不限对象类型（可以是连续型$\boldsymbol{x}$，也可以是离散型的$\boldsymbol{x}$）；

2、不限前向过程（可以用加噪、模糊、遮掩、删减等各种变换构建前向过程）；

3、不限时间类型（可以是离散型的$t$，也可以是连续型的$t$）；

4、包含已有结果（可以推出前面的DDPM、DDIM、SDE、ODE等结果）。

这是不是太过“异想天开”了？有没有那么理想的框架？本文就来尝试一下。

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