8
Dec
伽马函数的傅里叶变换之路
By 苏剑林 | 2014-12-08 | 60179位读者 | 引用伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广，会让很多初学者感到困惑，对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是：这般复杂的推广公式是如何得到的？
在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中，有比较详细地对伽马函数的历史介绍，笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是，笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”，并不是说最简单的，而是根据一些基本的性质和定义，直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单，但是思想应当是直接而简洁的。当然，我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生，但是作为事后探索是有益的，有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径，得到了一些结果，可是也得到了一些困惑。
ODE的坐标变换
熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如，如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下，如果直接代入计算，将会是一道十分繁琐的计算题。但是，我们知道，上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程，那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数，因此作用量的变换一般来说比较简单。比如，很容易写出，$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分，得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算，那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)
25
Dec
矩阵化简二次型（无穷小近似处理抛物型）
By 苏剑林 | 2012-12-25 | 22663位读者 | 引用（阅读本文最好有一定的线性代数基础，至少对线性代数里边的基本概念有所了解。）
这学期已经接近尾声了，我们的《解析几何》已经讲到化简二次曲线了。可是，对于没有线性代数的其他同学们，直接用转轴和移轴这个计算公式来变换，那计算量会让我们很崩溃的；虽然那个“不变量”方法计算上有些简单，却总让人感到很诡异，总觉得不知从何而来，而且又要记一堆公式。事实上，如果有线性代数的基础，这些东西变得相当好理解的。我追求用统一的方法求解同一种问题，即用统一的方式处理所有的二次型，当然也希望计算量简单一点。
一般的模型
一般的二次型可以写成
$$x^T A x + 2 b^T x + c=0$$
其中$x,b$都是n维列向量（各元素为$x_i$和$b_i$），A是n阶方阵（各元素为$a_{ij}$），c是常数。在这里，我们只讨论n=2和n=3的情况。化简二次型的过程，可以归结为A矩阵的简化。
8
Aug
彗星(非小行星)重创月球
By 苏剑林 | 2009-08-08 | 17330位读者 | 引用
1
May
我们打算飞到小行星上——但是，哪一颗好呢？
By 苏剑林 | 2010-05-01 | 31295位读者 | 引用
漫游在太空的小行星
站长：已经很久没有翻译过科普文章了。现在再来尝试一下，依旧是“Google+金山+搜索+理解”的模式，依旧是那么烂的水平，依旧是那么差的文采，呵呵。有任何意见欢迎提出。 4月15日，美国总统巴拉克·奥巴马视察了位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心并发表演讲，提出美国航天新计划：美国未来航天的目的地是火星和小行星，终止布什政府提出的国家载人航天飞行项目。他强有力地回击了其政策的批评者，同时呼吁私营企业铺设飞往火星的创新之路，而不是以国家之力展示美国的优势。 众所周知，载人登小行星比载人登月难多了。除了苛刻的技术条件外，适合登录的小行星也不多，奥巴马的新方案真的可行吗？让我们拭目以待！
11
Dec
薛定谔方程的启发式推导
By 苏剑林 | 2012-12-11 | 63260位读者 | 引用===聊聊天===
上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》，本打算好好研究下相对论的数学体系，可是书到了之后，我却深深地被量子力学吸引住了，不停在研读。而且在研究量子力学的同时，我的线性代数和微分方程知识也增加了不少，这确实是我没有想到的。在我看来，不管是狭义相对论还是广义相对论，它本质上都是一种几何理论，你总要想象从一个参考系观测会发生什么，然后从另外一个参考系又会看到什么；而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的，但是它的数学性比较强，主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧，因为我善于代数而不善于几何。
量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果，可见路径积分形式的优越性。当然，我也清楚，这个路径积分并不简单，它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容，对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说，泛函是难以触摸的。不过，我还是尽量想办法向它靠近。为此，我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容，比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。
很遗憾，在正统的量子力学教材中，这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及，有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分，就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导，也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识：书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书，那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣，那些附录内容才是我最喜欢读的。可是，那些让人兴奋的内容却不一定是很难的，就像下面的薛定谔方程的启发式推导，它不仅不难，而且易于理解。
===薛定谔方程===
在量子力学诞生之前，科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性，而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性，这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论，一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$，其中$\nu$是频率，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，h是普朗克常数，习惯记$\omega=2\pi \nu$，即$E=\hbar \omega$。
27
Dec
费曼路径积分思想的发展(四)
By 苏剑林 | 2012-12-27 | 34018位读者 | 引用4、量子场论中的泛函方法
路径积分出现之初，大多数物理学家反映都很冷淡，甚至怀疑它的正确性。这一方面是对路径积分方法的陌生与误解所致。在泊珂淖会议上，玻尔就把费曼图误解成粒子运动的轨迹，并对之进行了尖锐的批评。（[19]，P.459)另一方面，费曼并没有用公理化的方法，从作用量或拉格朗日量出发系统地推导出费曼规则，他是靠经验、猜测、检验和比较来给出与各种图相应的规则的。尽管如此，费曼却能把他的方法推广到当时热门的介子理论，并且只需一个晚上就可解决他人用正则哈密顿方法要用几个月的时间才能解决的问题。费曼方法的有效性，使戴逊大为惊讶，并促使他相信路径积分“必定是根本上正确的”（[1]，P.54）理论。随之，戴逊便决定把“理解费曼（的思想)并用一种他人能理解的语言来加以阐述”（[1]，p.54）作为自己的主要工作。1948年，戴逊成功地证明了朝永振一朗、施温格和费曼三人的理论“在其共同适用领域内”[25]的等价性。费曼的粒子图像的路径积分方法由此改头换面，变成了场论形式的泛函积分方法。
这已经是去年写的稿件了，刊登在今年二月份的《天文爱好者》上，本文的标题还登载了该期天爱的封面上，当时甚是高兴呢！在此与大家分享、共勉。
相信许多天文爱好者都知道第一、第二、第三宇宙速度的概念，也会有不少的天爱自己动手计算过它们。我们道，只要发射速度达到7.9km/s，宇宙飞船就可以绕地球运行了；超过11.2km/s，就可以抛开地球，成为太阳系的一颗“人造行星”；再大一点，超过16.7km/s，那么就连太阳也甩掉了，直奔深空。
16.7km/s，咋看上去并不大，因为地球绕太阳运行的速度已经是30km/s了，这个速度在宇宙中实在是太普通了。但是对于我们目前的技术来说，它大得有点可怕。维基百科上的资料显示，史上最强劲的火箭土星五号在运送阿波罗11号到月球时，飞船最终也只能加速到接近逃逸速度，即11.2km/s，而事实上第三宇宙速度已经是是目前人造飞行器的速度极限了。可是没有速度，我们就不能发射探测器去探索深空，那些科幻小说中的“星际移民”，就永远只能停留在小说上了。
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