生成扩散模型漫谈(十三):从万有引力到扩散模型
By 苏剑林 | 2022-10-18 | 46020位读者 | 引用对于很多读者来说,生成扩散模型可能是他们遇到的第一个能够将如此多的数学工具用到深度学习上的模型。在这个系列文章中,我们已经展示了扩散模型与数学分析、概率统计、常微分方程、随机微分方程乃至偏微分方程等内容的深刻联系,可以说,即便是做数学物理方程的纯理论研究的同学,大概率也可以在扩散模型中找到自己的用武之地。
在这篇文章中,我们再介绍一个同样与数学物理有深刻联系的扩散模型——由“万有引力定律”启发的ODE式扩散模型,出自论文《Poisson Flow Generative Models》(简称PFGM),它给出了一个构建ODE式扩散模型的全新视角。
万有引力
中学时期我们就学过万有引力定律,大概的描述方式是:
两个质点彼此之间相互吸引的作用力,是与它们的质量乘积成正比,并与它们之间的距离成平方反比。
生成扩散模型漫谈(十):统一扩散模型(理论篇)
By 苏剑林 | 2022-09-14 | 62347位读者 | 引用老读者也许会发现,相比之前的更新频率,这篇文章可谓是“姗姗来迟”,因为这篇文章“想得太多”了。
通过前面九篇文章,我们已经对生成扩散模型做了一个相对全面的介绍。虽然理论内容很多,但我们可以发现,前面介绍的扩散模型处理的都是连续型对象,并且都是基于正态噪声来构建前向过程。而“想得太多”的本文,则希望能够构建一个能突破以上限制的扩散模型统一框架(Unified Diffusion Model,UDM):
1、不限对象类型(可以是连续型$\boldsymbol{x}$,也可以是离散型的$\boldsymbol{x}$);
2、不限前向过程(可以用加噪、模糊、遮掩、删减等各种变换构建前向过程);
3、不限时间类型(可以是离散型的$t$,也可以是连续型的$t$);
4、包含已有结果(可以推出前面的DDPM、DDIM、SDE、ODE等结果)。
这是不是太过“异想天开”了?有没有那么理想的框架?本文就来尝试一下。
利用CUR分解加速交互式相似度模型的检索
By 苏剑林 | 2022-11-02 | 24000位读者 | 引用文本相似度有“交互式”和“特征式”两种做法,想必很多读者对此已经不陌生,之前笔者也写过一篇文章《CoSENT(二):特征式匹配与交互式匹配有多大差距?》来对比两者的效果。总的来说,交互式相似度效果通常会好些,但直接用它来做大规模检索是不现实的,而特征式相似度则有着更快的检索速度,以及稍逊一筹的效果。
因此,如何在保证交互式相似度效果的前提下提高它的检索速度,是学术界一直都有在研究的课题。近日,论文《Efficient Nearest Neighbor Search for Cross-Encoder Models using Matrix Factorization》提出了一份新的答卷:CUR分解。
CoSENT(三):作为交互式相似度的损失函数
By 苏剑林 | 2022-11-09 | 26759位读者 | 引用在《CoSENT(一):比Sentence-BERT更有效的句向量方案》中,笔者提出了名为“CoSENT”的有监督句向量方案,由于它是直接训练cos相似度的,跟评测目标更相关,因此通常能有着比Sentence-BERT更好的效果以及更快的收敛速度。在《CoSENT(二):特征式匹配与交互式匹配有多大差距?》中我们还比较过它跟交互式相似度模型的差异,显示它在某些任务上的效果还能直逼交互式相似度模型。
然而,当时笔者是一心想找一个更接近评测目标的Sentence-BERT替代品,所以结果都是面向有监督句向量的,即特征式相似度模型。最近笔者突然反应过来,CoSENT其实也能作为交互式相似度模型的损失函数。那么它跟标准选择交叉熵相比孰优孰劣呢?本文来补充这部分实验。
生成扩散模型漫谈(十一):统一扩散模型(应用篇)
By 苏剑林 | 2022-09-21 | 37368位读者 | 引用在《生成扩散模型漫谈(十):统一扩散模型(理论篇)》中,笔者自称构建了一个统一的模型框架(Unified Diffusion Model,UDM),它允许更一般的扩散方式和数据类型。那么UDM框架究竟能否实现如期目的呢?本文通过一些具体例子来演示其一般性。
框架回顾
首先,UDM通过选择噪声分布$q(\boldsymbol{\varepsilon})$和变换$\boldsymbol{\mathcal{F}}$来构建前向过程
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{\mathcal{F}}_t(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{\varepsilon}),\quad \boldsymbol{\varepsilon}\sim q(\boldsymbol{\varepsilon})\end{equation}
然后,通过如下的分解来实现反向过程$\boldsymbol{x}_{t-1}\sim p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)$的采样
\begin{equation}\hat{\boldsymbol{x}}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)\quad \& \quad \boldsymbol{x}_{t-1}\sim p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0=\hat{\boldsymbol{x}}_0)\end{equation}
其中$p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$就是用$\boldsymbol{x}_t$预估$\boldsymbol{x}_0$的概率,一般用简单分布$q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$来近似建模,训练目标基本上就是$-\log q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$或其简单变体。当$\boldsymbol{x}_0$是连续型数据时,$q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$一般就取条件正态分布;当$\boldsymbol{x}_0$是离散型数据时,$q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$可以选择自回归模型或者非自回归模型。
圆内随机n点在同一个圆心角为θ的扇形的概率
By 苏剑林 | 2022-10-25 | 31383位读者 | 引用“十字架”组合计数问题浅试
By 苏剑林 | 2022-10-09 | 17056位读者 | 引用生成扩散模型漫谈(十五):构建ODE的一般步骤(中)
By 苏剑林 | 2022-12-22 | 25057位读者 | 引用上周笔者写了《生成扩散模型漫谈(十四):构建ODE的一般步骤(上)》(当时还没有“上”这个后缀),本以为已经窥见了构建ODE扩散模型的一般规律,结果不久后评论区大神 @gaohuazuo 就给出了一个构建格林函数更高效、更直观的方案,让笔者自愧不如。再联想起之前大神之前在《生成扩散模型漫谈(十二):“硬刚”扩散ODE》同样也给出了一个关于扩散ODE的精彩描述(间接启发了上一篇博客的结果),大神的洞察力不得不让人叹服。
经过讨论和思考,笔者发现大神的思路本质上就是一阶偏微分方程的特征线法,通过构造特定的向量场保证初值条件,然后通过求解微分方程保证终值条件,同时保证了初值和终值条件,真的非常巧妙!最后,笔者将自己的收获总结成此文,作为上一篇的后续。
前情回顾
简单回顾一下上一篇文章的结果。假设随机变量$\boldsymbol{x}_0\in\mathbb{R}^d$连续地变换成$\boldsymbol{x}_T$,其变化规律服从ODE
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt}=\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)\label{eq-ode}\end{equation}
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