27 Jan

三个相切圆的公切圆

在学车的时候,我堂大哥曾问我一道作圆的问题:

三圆的外切圆和内切圆 (1)

三圆的外切圆和内切圆 (1)

平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心,求作一个圆与这三个圆都相切(尺规作图)。

如果从纯几何的途径入手,我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目,于是很快想到一个名词:反演。反演可以将圆反演成直线(圆过反演点),也可以将圆反演成圆(圆不过反演点),而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演,就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多,利用反演,我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。

假设读者已经有了反演的基本知识,如果没有,请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演

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22 Feb

炼钢.vs.做菜:淬火与过冷河

牛腩过冷河

牛腩过冷河

除了数学物理和中国象棋,我闲时也喜欢弄一下吃的。看到各种菜料经过自己的加工变成佳肴,也是一件美不胜收的事情;有时看到同样的菜料能够做出不同款式、不同味道的菜时,更是其乐无穷。作为广东人,我很自豪于其中一句话:“广东人吃所有东西——天上飞的,除了飞机;地上爬的,除了火车;水中游的,除了潜艇”。虽然不免有些夸张,但这句话充分显示了广东人(或者说岭南地区)饮食和烹饪的强大本领。我的厨房技术来源于我妈妈,小时候妈妈在家里做菜,由于是烧柴草生火,所以我得在灶前看好火。于是看火之时也在看妈妈做菜,久而久之,也会学会了一些做菜的方法。而现在,妈妈仍是家里的厨房好手,而我也不时进入厨房,做做自己喜欢吃的东西。谢谢我的好妈妈!

炼钢

本文叫“炼钢.vs.做菜”,这两者基本上是风牛马不相及,不过我却发现它们有一点点相似的技巧。已不记得什么时候了,在一本自然科学的书上,我曾看到过炼钢的两种技术:淬火和退火(后来发现还有正火、回火等,原理类似)。简单来说,淬火是将一块钢铁烧红,然后放进冷水中迅速冷却(也就是加热到一定温度,然后迅速冷却),如此重复,便可使得钢铁变硬,但同时也会更脆;退火则刚刚相反,它是将钢铁烧红后,让它自然冷却(有必要时,想办法降低冷却速度),如此一来,钢铁变软了,也变韧了。正火、回火均与退火类似,只是在细节上不同。通过淬火和退火的适当组合,可以生产出硬度和韧度都适当的钢铁。

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15 Mar

不求珍馐百味,但愿开水白菜

开水白菜 (1)

开水白菜 (1)

如果要用做菜来比喻人生的话,我觉得,人生最高的境界之一便是开水白菜。

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16 Aug

从费马大定理谈起(三):高斯整数

为了拓展整数的概念,我们需要了解关于环和域这两个代数结构,这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构,是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中,可以很方便定义和比较两个数字的大小,并且任意一个自然数的子集,都存在最小元素,这两点综合起来,我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的(这也是数学归纳法的基础)。在良序的结构中,很多性质的证明变得很简单,比如算术基本定理。然而,一般的数环、数域并没有这样的“良序”,比如任意两个复数就不能比较大小。因此,一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。

环和域

关于环(Ring)的定义,可以参考维基百科上面的“环(代数)”条目。简单来说,环指的是这样一个集合,它的元素之间可以进行加法和乘法,并满足一些必要的性质,比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环,它指的是集合是数集的情况,并且通常来说,元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$,这个数环是无限的;所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$;对于素数$p$,在模$p$之下,数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环,更特别的,它还是一个数域。

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19 Mar

一本对称闯物理:相对论力学(一)

简单说说

《可畏的对称》

《可畏的对称》

笔者最近陶醉于从李对称的角度来理解力学和场论,并且计算得到一些比较有趣的结果,遂想在此与大家分享。我发现,仅仅需要一个描述对称的无穷小生成元和一些最基本的假设,几乎就可以完成地推导出整个相对论力学来,甚至推导出整个(经典)场论理论来。这确实是不可思议的,我现在能基本体会到当年徐一鸿大师写的《可畏的对称》的含义了。对称的威力如此之大,以至于我们真的不得不敬畏它。而在构思本文题目的时候,我也曾想到过用“可畏的对称”为题,但不免有抄袭和老套之嫌。后来想到曾有一部漫画叫《一本漫画闯天涯》,遂将“漫画”改成“对称”,“天涯”改成“物理”,似乎也能表达我对“对称”的感觉。

对称就是在某种变换下保持不变的性质,比如狭义相对论要求所有物理定律在所有惯性系中保持不变,这相对于要求描述物理定律的方程在匀速运动的坐标变换下保持不变,结合光速不变的要求,我们就可以推导出洛伦兹变换,从而完成地描述了狭义相对论里边的对称。然而,并不是任何时候都可以想推导洛伦兹变换那样,能够把一个完整的变换推导出来的。幸好,李对称的不需要完整的对称描述,它只需要“无穷小变换”(意味着我们可以忽略掉高阶项),对应地产生一个“无穷小生成元”,用这个无穷小生成元,就足以完整构建出我们所需要的物理来。这种“无穷小”决定“广泛”、“局部”决定“全局”的奇妙至今仍让我觉得不可思议。(关于李对称、无穷小生成元的基本概念,不妨先阅读:《求解微分方程的李对称方法》

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9 Apr

趣题:与橡皮绳赛跑的蚂蚁

这是一道流传很广的趣题,也许不少读者已经听说过它,然而广为人知却不一定“广为人‘解’”,在此把题目给出来,写下我自己的答案,并且谈谈我对答案的看法。题目是这样子的:

与橡皮绳赛跑的蚂蚁
一只蚂蚁沿着一条长$l=100$米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟,橡皮绳就拉长100米,比如10秒后,橡皮绳就伸长了1000米。假设橡皮绳可以任意拉长,并且拉伸是均匀的。蚂蚁也会不知疲倦的一直往前爬,在绳子均匀拉长时,蚂蚁的位置理所当然的相对匀速向前挪动,问,如此下去,蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

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15 Jul

《新理解矩阵6》:为什么只有方阵有行列式?

学过线性代数的朋友都知道,方阵和非方阵的一个明显不同是,对于方阵我们可以计算它的行列式,如果不是方阵的话,就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中,为什么非方阵却没有行列式?也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵,其实也可以类似地定义它的行列式,定义出来的东西,跟方阵的行列式具有同样的性质,比如某行乘上一个常数,行列式值也就乘以一个常数,等等;而且还可以把其几何意义保留下来。但是,非方阵的行列式是不够美的,因为对于一个一般的整数元素的方阵,我们的行列式是一个整数;而对于一个一般的整数元素的非方阵,却导致了一个无理数的行列式值。另外,一个也比较重要的原因是,单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由,非方阵的行列式就被舍弃不用了。

非方阵的行列式不够漂亮

$n$阶方阵的行列式是每个向量的线性函数,它代表着向量之间的线性相关性;从几何上来讲,它就是向量组成的平行n维体的(有向)体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质,因为只有这样,方阵行列式的那些运算性质才得以保留,比如上面说的,行列式的一行乘上一个常数,行列式值也乘上一个常数。我们考虑$m\times n$的矩阵,其中$ m < n $,我们将它看成是$m$个$n$维向量的组合。最简单的,我们先考虑$1\times 2$矩阵的行列式,也就是二维向量$(a,b)$的行列式。

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1 Jul

勾股数的通解及其推广

在之前的文章《几何的数与数的几何:超复数的浅探究》中,我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质?读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子,有几何方面的,也有物理方面的,这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用,这一例子同样展示了复数这一性质的神奇,让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。

勾股数问题

读者或许已经知道,勾股数,也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解,由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$

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