科学空间|Scientific Spaces

在小学的时候，数学老师就教我们除法运算：

被除数 = 除数 × 商 + 余数

其中，余数要小于除数。不过，我们也许未曾想到过，这一运算的成立，几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术（数论）运算性质成立的基础！在代数中，上面的运算等式称为带余除法（division algorithm）。如果在一个整环中成立带余除法，那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质，比如唯一分解性，也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环，被称为唯一分解整环（Unique factorization domain）。

欧几里得整环

Euklid-von-Alexandria_1

唯一分解定理说的是在一个整环之中，所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积，并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下，分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理，比如$60=2^2\times 3\times 5$，这种分解是唯一的，这看起来相当显然，但实际上唯一分解定理相当不显然。首先，并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的，我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$，要注意，在$2\mathbb{Z}$中，2、6、10、30都是素数，因为它们无法分解成两个偶数的乘积了，但是$60=6\times 10=2\times 30$，存在两种不同的分解，因此在这样的数环中，唯一分解定理就不成立了。

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为了拓展整数的概念，我们需要了解关于环和域这两个代数结构，这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构，是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中，可以很方便定义和比较两个数字的大小，并且任意一个自然数的子集，都存在最小元素，这两点综合起来，我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的（这也是数学归纳法的基础）。在良序的结构中，很多性质的证明变得很简单，比如算术基本定理。然而，一般的数环、数域并没有这样的“良序”，比如任意两个复数就不能比较大小。因此，一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。

环和域

关于环（Ring）的定义，可以参考维基百科上面的“环（代数）”条目。简单来说，环指的是这样一个集合，它的元素之间可以进行加法和乘法，并满足一些必要的性质，比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环，它指的是集合是数集的情况，并且通常来说，元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$，这个数环是无限的；所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$；对于素数$p$，在模$p$之下，数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环，更特别的，它还是一个数域。

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费马大定理说的是$n > 2$的情况，但是我们可以从$n=2$出发，求解到勾股数组的一般表达式，并且从中得到证明费马大定理的原始思想。

互质解

我们在实整数，也就是$\mathbb{Z}$内求解。为了求解不定方程$x^2+y^2=z^2$，首先我们注意到，这是一道齐次方程，这告诉我们，如果存在某一组解，那么可以通过同除以公约数的方法，得到一组两两互质的解。换句话说，有解必有互质解，这是$x^n+y^n=z^n$的解的通性。那么，我们假设$(x,y,z)=(a,b,c)$ 是方程$x^2+y^2=z^2$的一个互质解。

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费马大定理，也叫做费马最后定理(Fermat Last Theorem)，说的是

设$n$是大于2的正整数，则不定方程$x^n+y^n=z^n$没有全不为0的整数解。

Pierre_de_Fermat

稍微阅读过数学史的朋友应该知道，该定理首先于1637年由法国业余数学家费马（Pierre de Fermat）在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时写在第11卷第8命题旁写道。他并附加道：“我发现了一个非常漂亮的证明，但这里没有足够的空间可容纳得下。”根据后世的考证，费马或许有办法证明n=3,4,5的情形，但不大可能给出一般性的证明，因为在20世纪90年代，怀尔斯用了130页的纸张，而且用到了复杂的现代理论，才完全证明了费马大定理。所以费马当时的这一断言，更可能只是一个归纳猜测。

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有了上一篇文章的$\prod\limits_{p\leq n}p < 4^{n-1}$的基础，我们其实已经很接近Bertrand假设的证明了。Bertrand假设的证明基于对二项式系数$C_n^{2n}$的素因子次数的细致考察，而在本篇文章中，我们先得到一个关于素数之积的下限公式，然后由此证明一个比Bertrand假设稍微弱一点的假设。最后，则通过一个简单的技巧，将我们的证明推动至Bertrand假设。

二项式系数的素因子

首先，我们考察$n!$中的素因子$p$的次数，结果是被称为Legendre定理的公式：

$n$中素因子$p$的次数恰好为$\sum\limits_{k\geq 1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$。

证明很简单，因为$n!=1\times 2\times 3\times 4\times \dots \times n$，每隔$p$就有一个$p$的倍数，每隔$p^2$就有一个$p^2$的倍数，每隔$p^3$就有一个$p^3$的倍数，每增加一次幂，将多贡献一个$p$因子，所以把每个间隔数叠加即可。注意该和虽然写成无穷形式，但是非零项是有限的。

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在之前的欧拉数学中，我们计算过所有素数的倒数之和，得出素数的倒数之和是发散的，从而这也是一个关于素数个数为无穷的证明。在本篇文章中，我们尝试计算所有素数之积，通过一个简单的技巧，得到素数之积的一个上限（以后我们也会计算下限），从而也得到$\pi(n)$的一个上限公式。更重要的，该估计是初等地证明Bertrand假设（说的是n与2n之间定有一个素数）的重要基础之一。本文内容部分参考自《数学天书中的证明》和《解析和概率数论导引》。

素数之积

笔者已经说过，数论的神奇之处就是它总是出人意料地把数学的不同领域联系了起来。读者很快就可以看到，本文的证明和组合数学有重要联系（但仅仅是简单的联系）。关于素数之积，我们有以下结论：

不超过$n$的所有素数之积小于$4^{n-1}$。

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OEIS?：http://oeis.org/

近段时间在研究解析数论，进一步感觉数论真是个奇妙的东西，通过它，似乎数学的各个方面——离散的和连续的，实数的和复数的，甚至物理的——都联系了起来。由此也不难体会到当初高斯（Gauss）会说“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”了。今天，由于在研究素数的个数的上下界问题时，需要思考组合数
$$C_{n}^{2n}=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\ n!}$$
最多能被2的多少次方整除。直觉告诉我，次数应该是随着$n$的增大而增大的，但事实却不是，比如$C_{15}^{30}$能够被16整除，但是$C_{20}^{40}$却最多只能被4整除，有种毫无规律的感觉，于是到群里问问各大神。其中，wayne提出

这个可以写个小程序算出一些数据，再在oeis上搜搜

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学过线性代数的朋友都知道，方阵和非方阵的一个明显不同是，对于方阵我们可以计算它的行列式，如果不是方阵的话，就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中，为什么非方阵却没有行列式？也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵，其实也可以类似地定义它的行列式，定义出来的东西，跟方阵的行列式具有同样的性质，比如某行乘上一个常数，行列式值也就乘以一个常数，等等；而且还可以把其几何意义保留下来。但是，非方阵的行列式是不够美的，因为对于一个一般的整数元素的方阵，我们的行列式是一个整数；而对于一个一般的整数元素的非方阵，却导致了一个无理数的行列式值。另外，一个也比较重要的原因是，单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由，非方阵的行列式就被舍弃不用了。

非方阵的行列式不够漂亮

$n$阶方阵的行列式是每个向量的线性函数，它代表着向量之间的线性相关性；从几何上来讲，它就是向量组成的平行n维体的（有向）体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质，因为只有这样，方阵行列式的那些运算性质才得以保留，比如上面说的，行列式的一行乘上一个常数，行列式值也乘上一个常数。我们考虑$m\times n$的矩阵，其中$ m < n $，我们将它看成是$m$个$n$维向量的组合。最简单的，我们先考虑$1\times 2$矩阵的行列式，也就是二维向量$(a,b)$的行列式。

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