科学空间|Scientific Spaces

这一周科学空间时断时续的，原因是原来的服务器两个内存条坏了，内存不够用。

后来天文台决定给我们换一台服务器，这两天主要在转移数据，从而不能访问。

目前，基本上已经转移好了，服务器升级工作基本完成。新服务器的升级，CPU从原来的8核升级为48核，内存从16GB升级为64GB。再次感谢国家天文台宇宙驿站给予我们的服务^_^感谢各位技术人员的努力，让我们一起把中文科普事业做得更好~

这也是我的期末论文之一...全文共17页，包括了四元数的构造方法，初等应用等。附录包括行列式与体积、三维旋转的描述等。使用LaTex进行写作（LaTex会让你爱上数学写作的）

几何的数与数的几何
――超复数的浅探究

摘要
今天，不论是数学还是物理的高维问题，都采用向量分析为基本工具，数学物理中难觅四元数的影子。然而在历史上，四元数的发展有着重要的意义。四元数（Quaternion）运算实际上是向量分析的“鼻祖”，向量点积和叉积的概念也首先出现在四元数的运算中，四元数的诞生还标记着非交换代数的开端。即使是现在，四元数还是计算机描述三维空间旋转问题最简单的工具。另外，作为复数的推广，四元数还为某些复数问题的一般化提供了思路。

本文把矩阵与几何适当地结合起来，利用矩阵行列式$\det (AB) =(\det A)(\det B)$这一性质得出了四元数以及更高维的超复数的生成规律，并讨论了它的一些性质以及它在描述旋转方面的应用。部分证明细节和不完善的思想放到了附录之中。

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作为量子理论的一个重要定理，不确定性原理总是伴随着物理意义出现的，但是从数学的角度来讲，把不确定性原理的数学形式抽象出来，有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中，我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是，不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中，厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵；而所谓厄密矩阵，就是一个矩阵同时取共轭和转置之后，等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况，那就是n维实矩阵，n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量，即$|\boldsymbol{x}|=1$，而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中，$\boldsymbol{x}$就是波函数，但是在这里，它只不过是一个单位实向量；并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出，这些量对应着可观测量的期望值。当然，如果不懂量子力学，可以只看上面的矩阵形式。

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2013年即将过去，而我的大二也即将过去一半了。这一学期广播台的事情忙了很多，数学物理的进展比想象中稍微缓了一些，主要的进步是在向量分析（场论）、路径积分和微分方程等方面。下学期开始分流了，我选择了非师，但事实上，我更喜欢师范类的课程，我选择非师的唯一原因是选择师范需要修教育学和心理学。幸好，我们创新班的自由度比较多，可以自由选择下学期的课程，我选择了六门数学课程：

1、常微分方程；
2、复变函数；
（这两门纯粹是凑学分的，我觉得他能讲的东西我都懂了，而我认为很重要的部分他不讲...）
3、数理统计；
（这门主要的想法是为路径积分以及统计力学奠基）
4、微分几何；
（主要是广义相对论的奠基，还有理论物理形式）
5、偏微分方程；
（第4、5都是大三的课程，我是去跟大三一起上的）
6、离散数学。

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前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时，发现他更新了一篇很有趣的文章，叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》（果然，物理系的能接触到各种各样有趣的现象），里边谈到通过施加一个运动在单摆上面，倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣，遂也计算了一番。

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在线阅读地址：
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/

刚在浏览《朗道集结号》的微博时，发现了这一造福大众的消息。难得的是，这个在线版通过MathJax使用Latex排版，阅读效果完全丝毫不输于纸质版的，还可以自由复制。只是遗憾只有英文版的，也许有一天心血来潮，我也弄个在线的中文版出来，呵呵。一切皆有可能。

费曼的物理讲义是一套地地道道的物理书，它是一次美妙的物理之旅。纵使你可能已经读过相当多的物理教材，但是读读费曼的讲义还是大有裨益的，它给我们讲述了什么才是物理，怎么才能学物理。

本节简单介绍用矩阵来描述旋转。在二维平面上，复数无疑是描述旋转的最佳工具；然而推广到三维空间中，却要动用到“四元数”了。为了证明四元数的相关结论，我们需要三维旋转的矩阵描述。最一般的旋转运动为：绕某一根轴旋转$\theta$角度。这样我们就需要三个参数来描述它：确定一根轴至少需要两个参数，确定角度需要一个参数。因此，如果要用“数”来描述三维空间的伸缩和旋转的话，“三元数”显然是不够的，完成这一目的至少需要四元数。这也从另外一个角度反映了三元数的不存在性。

矩阵方法
首先我们认识到，如果旋转轴是坐标轴之一，那么旋转矩阵将是最简单的，比如向量$\boldsymbol{x}=(x_0,y_0,z_0)^{T}$绕$z$轴逆时针旋转$\theta$角后的坐标就可以描述为
$$\begin{equation}
\boldsymbol{R}_{\theta}\boldsymbol{x}\end{equation}$$

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这是我的数学分析期末小论文，是之前的文章《[欧拉数学]找出严谨的答案》的补充与完善，也是我自己的Latex写作练习。文章举了一些例子来说明通过离散数学连续化为离散命题的证明带来思路。

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通常我们都认为具体的级数是比较容易分析的，而抽象级数则比较难把握思路。抽象级数题目的种类太多，为了熟练解题通常都需要记忆很多形式，而且这些形式通常都很单一，缺乏可拓展性。而运用“欧拉数学”，可以为我们解决数项级数题提供一个独特的、实用性广的思路。

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